Reparamos $G=\mathrm{SL}_3(\mathbf{R})$.
Deje $\Gamma$ ser una de torsión libre de cocompact de celosía en $G$. Es $b_2(\Gamma)=0$?
Aquí el segundo número de Betti $b_2(\Gamma)$ es la dimensión de la cohomology grupo $H^2(\Gamma,\mathbf{Q})$ y la dimensión de de Rham cohomology en el grado 2 de la localmente simétrica espacio de $\Gamma\backslash G/K$, $K=\mathrm{SO}(3)$.
De Kazhdan la Propiedad de T, I ahora que
- $b_1(\Gamma)=0$, y,
- para cada finito índice subgrupo $\Lambda$ de $\Gamma$, el mapa de restricción $H^2(\Gamma,\mathbf{Q})\to H^2(\Lambda,\mathbf{Q})$ es inyectiva. En particular, $b_2(\Lambda)\ge b_2(\Gamma)$.
No sé la respuesta a la pregunta de un único ejemplo de $\Gamma$, por lo que me gustaría aceptar la respuesta en un solo caso.
En realidad, para un fijo $\Gamma$, me gustaría considerar un resultado positivo o negativo como notable, debido a:
- Si $b_2(\Gamma)=0$, entonces el (5 dimensiones) localmente simétrica espacio de $\Gamma\backslash G/K$ es un racional de homología de la esfera (ver este MO pregunta);
Si $b_2(\Gamma)\neq 0$, entonces tenemos una central de extensión de la $1\to Z\to\widetilde{\Gamma}\to\Gamma\to 1$, con $Z\simeq\mathbf{Z}$, que no se dividen (y no de división en la restricción a cualquier finito índice de subgrupo, ya que $\widetilde{\Gamma}$ hereda la Propiedad T). Desde el grupo fundamental de la $G$ es cíclico de orden 2, se puede deducir, el uso de superrigidity ver que cualquier homomorphism de $\widetilde{\Gamma}$ en cualquier conectados Mentira grupo es trivial en $2Z$ (y, en particular, $\widetilde{\Gamma}$ es lineal). Si es así, estaría muy curioso acerca de este exótico central de extensión. Por ejemplo, ¿cómo es $Z$ distorsionada en $\widetilde{\Gamma}$? No puede ser más que cuadráticamente distorsionada, debido a que el Dehn función de $\Gamma$ es cuadrática.
- [Editar, 2018 Dec 4] además, en el caso último caso tenemos otro par de posibilidades en el que ambas alternativas aparecen como sorprendente. De hecho, $H^2_\mathrm{b}(\Gamma,\mathbf{R})=0$ (desaparición de la limitada cohomology: Teorema 1.4 de Monod-Shalom 2004). Así que o bien (a) en la central por encima de extensión, $Z$ está distorsionada (en contraste con la central de extensiones que vienen de la conexión de los revestimientos de la Mentira grupos), o (b) $Z$ es sin distorsión, y esto sería una extensión central por $Z$ que no es representado por un delimitada cohomology de la clase. No estoy seguro de esto se sabe que existe. [/final editar]
En principio, mi pregunta se debe de equipo-responsable, si en un solo caso, se puede implementar una triangulación de los localmente simétrica del espacio, de un tamaño razonable.
Contextual adicional notas:
como tengo entendido, la desaparición de resultados (Matsushima, Zuckerman, Borel-Wallach...) por $b_2$ se aplicará cuando $G$ es sustituido por una simple Mentira grupo de bienes de rango $\ge 3$, por lo tanto no se aplican aquí.
por Abert-Bergeron-Biringer-Gelander-Nikolov-Raimbault-Samet (Anales de Matemáticas de 2017), tenemos, en $G$ arbitrarias simple Mentira grupo de clasificación $2$ y finito centro, y $\Gamma_n$ estrictamente disminución de la secuencia de cocompact celosías, $b_2(\Gamma_n)=o([\Gamma:\Gamma_n])$.
para no cocompact celosías en $G=\mathrm{SL}_3(\mathbf{R})$, el panorama es un poco diferente ya que el (racional) cohomological dimensión es 3 o 4 (en lugar de 5) y no hay ninguna dualidad de Poincaré. Por ejemplo, para un finito índice subgrupo de $\mathrm{SL}_3(\mathbf{Z})$, la racional cohomological dimensión es 3, la característica de Euler es 0, y por lo tanto, tenemos $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)=(1,0,b_2,1+b_2,0,0)$. En efecto se puede (suele) tener $b_2>0$: es probado por la Ceniza (Toro AMS, 1977), para $\Gamma=\mathrm{Ker}(\mathrm{SL}_3(\mathbf{Z})\to \mathrm{SL}_3(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}))$que $b_2\ge 5814$. Es esto evidencia de que cocompact celosías también debe tener un valor distinto de cero $b_2$, no sé.
