Quiero saber las razones históricas por las que se señalan los anillos de Cohen-Macaulay como objetos algebraicos interesantes.
Estoy revisando mis apuntes de la clase anterior sobre los anillos de Cohen-Macaulay porque ahora estoy estudiando sobre los anillos de Stanley-Reisner y creo que necesito tener una mejor comprensión general sobre por qué necesito estudiar los anillos CM.
Creo que hay muchas razones. Aquí hay algunas.
Los anillos Cohen-Macaulay son más fáciles de trabajar.
Por ejemplo, cualquier número de cálculos en módulos de cohomología local se vuelve mucho más fácil en el caso de Cohen-Macaulay (véase, por ejemplo, el libro de Bruns y Herzog sobre el tema). Explícitamente, es mucho más fácil determinar si una clase en $z \in H^{\dim R}_{\mathfrak{m}}(R)$ es cero o no en el caso de que $R$ es Cohen-Macaulay.
Tanto la dualidad Grothendieck-local como la Grothendieck-Serre funcionan mucho mejor en los anillos Cohen-Macaulay. El complejo dualizador (suponiendo que exista) es un complejo cuya primera cohomología no nula es el módulo canónico y que es igual a este módulo canónico (desplazado) si y sólo si el anillo es Cohen-Macaulay. Sin esta hipótesis, a menudo hay que trabajar en la categoría derivada y hacer numerosos cálculos con secuencias espectrales. Es conveniente no tener que hacerlo.
Si $R$ es Cohen-Macaulay y $I$ es un ideal de altura uno (y supongamos que los anillos son cocientes de anillos Gorenstein/regulares por lo que tienen complejos dualizantes). Entonces tenemos un sujeción de módulos canónicos $\text{Hom}_R(I, \omega_R) = \omega_R(I^{-1}) \to \omega_{R/I}$ . Esto es surjetivo porque el siguiente término es cero cuando $R$ es Cohen-Macaulay. Este tipo de fuga se aplica a situaciones más generales y es realmente útil (hay una versión dual local que implica la cohomología local). Hay muchos otros resultados de fuga que se pueden deducir de este tipo también.
Vale, si los anillos de Cohen-Macaulay no fueran tan comunes, las bonitas propiedades anteriores serían menos interesantes. Pero los anillos de Cohen-Macaulay son realmente comunes. Aquí hay algunos ejemplos.
Si $R \subseteq S$ es una extensión de anillos y $R \to S$ se divide como un mapa de $R$ -entonces si $S$ es Cohen-Macaulay, también lo es $R$ (el punto es $H^i_m(R) \to H^i_{mS}(S)$ inyecta y el último término es cero, al menos después de una pequeña localización en $S$ si es necesario). Muchos anillos procedentes de la teoría de la representación, por ejemplo, son sumandos de anillos regulares.
Los anillos de intersección completos son Cohen-Macaulay.
Muchas de las clases de singularidades más útiles hoy en día son las de Cohen-Macaulay. Una de sus propiedades más útiles es su propiedad de fuga (véase más arriba).
"La vida realmente vale la pena en un anillo noetheriano $R$ cuando todos los anillos locales tienen la propiedad de que cada p.o.s. es un $R$ -secuencia. Dicho anillo se denomina Cohen-Macaulay (C-M para abreviar)".
[Página 887 de Hochster, Algunas aplicaciones del Frobenius en la característica 0 ]
No soy un experto en la evolución de los anillos de Cohen-Macaulay, así que dejaré esa parte de tu pregunta para los que realmente conocen su historia.
A alto nivel, los anillos de Cohen-Macaulay son maravillosos precisamente porque se encuentran en la intersección de la geometría algebraica, la topología algebraica, la combinatoria, el álgebra conmutativa y probablemente otros cuatro o cinco campos de investigación activos que me falta perspectiva para mencionar. Por lo tanto, hay muchos "ganchos" para que personas con diversos antecedentes utilicen lo que saben para demostrar algo interesante en un campo aparentemente dispar. Yo no he tocado el álgebra conmutativa ni con un palo de tres metros en mi propia investigación, pero oye: entiendo las condiciones de enlace en complejos simpliciales, así que tengo algo a lo que agarrarme cuando leo sobre anillos C-M.
Para una secuencia precisa de hasta 9 respuestas a su pregunta específica que fueron relevantes ya en 1978, recomendaría la introducción de este documento por Melvin Hochster. Se titula " Anillos de Cohen Macaulay y sus módulos ".
Actualización (24 de noviembre de 2014): Una introducción bastante completa sobre la importancia de Cohen-Macaulay complejos ahora también se puede encontrar en la obra de Anders Björner artículo reciente dedicado a Richard Stanley en su 70 cumpleaños.
Descripción de Richard Stanley en Cómo se demostró la conjetura del límite superior cuenta mucho sobre la historia de cómo los anillos de Cohen-Macaulay adquirieron importancia en la combinatoria. Se pueden encontrar más enlaces aquí.
Creo que, aparte del álgebra conmutativa, una de las principales importancias del Cohen-Macauley es la Geometría. Los anillos CM se encuentran entre los anillos regulares y otros tipos de singularidades (malas). En cierto sentido, las singularidades CM son las mejores singularidades y son mucho más fáciles de tratar. Una de las propiedades más sencillas de las singularidades CM es, por ejemplo, que son equidimensionales.
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No sé si históricamente, pero una razón importante en los tiempos modernos es la geometría. Resulta que si se forma un espacio de moduli "bueno" (insertar alguna noción de estabilidad) de variedades suaves de algún tipo, entonces degeneran en la frontera a algunas variedades singulares. Resulta que éstas tendrán, en el peor de los casos, singularidades de Cohen-Macaulay, por lo que entender los anillos de Cohen-Macaulay es extremadamente importante en el estudio de la clasificación de variedades lisas.
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Has dicho que estudias anillos de Stanley-Reisner, así que supongo que lo has leído, pero este artículo seminal demuestra inmediatamente la relevancia de los anillos de Cohen-Macaulay para el álgebra combinatoria conmutativa: dedekind.mit.edu/~rstan/pubs/pubfiles/27.pdf
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El FAC de Serre se refiere al teorema de Cohen-Macaulay en Alegre Locale(1953) de Samuel. Afirma que un sistema de parámetros de un anillo local regular es una secuencia regular. El libro de Zariski-Samuel(1958) define el anillo local de Cohen-Macaulay(lo llaman anillo de Macaulay).
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Wikipedia: Llevan el nombre de Francis Sowerby Macaulay (1916), que demostró el teorema de no mezcla para anillos de polinomios, y de Cohen (1946), que demostró el teorema de no mezcla para anillos formales de series de potencias. Todos los anillos de Cohen-Macaulay tienen la propiedad de no mezcla.