Mostrar que $x^4 + 8$ es irreducible sobre Z

Question

Hay una manera fácil de mostrar que $x^4+8$ es irreducible sobre $\mathbb Z$ sin tratar de escribir como un producto de polinomios de grado menor?

Answer 1

Desde $\ 9^4\!+8\ $ es primo, es irreductible por Cohn irreductibilidad de la prueba. O, con menor prime, considere la posibilidad de $\,f(2x) = 8(2x^4\!+1).\,$ $2x^4\!+1$ es irreductible por Cohn, ya $\,2\cdot 3^4+1 = 163\,$ es primo (de hecho, un muy famoso primo, el mayor número de Heegner, que explica el por qué de Euler famoso primer producir polinomio $\,n^2-n+41\,$ los rendimientos de los distintos primos de $\,n = 1,2,\ldots,40).$

Comentario $\ $ Cohn criterio puede considerarse como un ejemplo de la idea general de que el factorizations de un polinomio son limitados por la factorizations de los valores que toma. Si uno lleva esta idea hasta la empuñadura, se obtiene un algoritmo simple para la polinomio factorización utilizando la factorización de sus valores enteros y (Lagrange) interpolación. Las ideas detrás de este algoritmo son debidos en parte a los Bernoulli, de Schubert, de Kronecker. El algoritmo es de más valor teórico que práctico, ya que hoy en día es mucho más eficiente los algoritmos son conocidos.

También hay otros estrechamente relacionados con los resultados. En $1918$ Stackel publicado la siguiente:

Teorema Si $\rm\, f(x)\,$ es un compuesto entero coeficiente de polinomio, a continuación, $\rm\, f(n)\, $ está compuesto por todos los $\rm\,|n| > B,\, $ para algunos enlazado $\rm\,B.\,$ En realidad $\rm\, f(n)\, $ tiene más de $\rm\, 2d\, $ prime valores, donde $\rm\, d = {\rm deg}(f)$.

La prueba simple puede encontrarse en línea en Mott & Rose [3], p. 8. Recomiendo altamente este delicioso y estimulante $27$ página de papel el cual trata de las prime-producción de polinomios y temas relacionados.

Contrapositively, $\rm\, f(x)\, $ es el primer (irreductible) si se supone que el primer valor por lo suficientemente grande como $\rm\, |x|\, $. Como un ejemplo, Poli-Szego popularizó R. Cohn irreduciblity de la prueba, que los estados que $\rm\, f(x) \in \mathbb Z[x]\,$ es primo si $\rm\, f(b)\, $ los rendimientos de un prime en radix $\rm\,b\,$ de representación (obligatoriamente $\rm\,0 \le f_i < b).$

Por ejemplo, $\rm\,f(x) = x^4 + 6\, x^2 + 1 \pmod p\,$ factores para todos los números primos $\rm\,p,\,$ sin embargo, $\rm\,f(x)\,$ es prime desde $\rm\,f(8) = 10601\rm$ octal $= 4481$ es primo. Cohn prueba falla si, en radix $\rm\,b,\,$ negativo dígitos, por ejemplo, $\rm\,f(x)\, =\, x^3 - 9 x^2 + x-9\, =\, (x-9)\,(x^2 + 1)\,$ pero $\rm\,f(10) = 101\,$ es primo.

Por el contrario Bouniakowski conjeturó $(1857)$ que prime $\rm\, f(x)\, $ asumir un número infinito de primos valores (excluyendo los casos donde todos los valores de $\rm\,f\,$ fijos comunes divisores, por ejemplo, $\rm\, 2\: |\: x(x+1)+2\, ).$ sin Embargo, excepto por lineal de polinomios (del teorema de Dirichlet), esta conjetura nunca ha sido demostrado para cualquier polinomio de grado $> 1.$

Tenga en cuenta que un resultado que produce la existencia de un primer valor se extiende a la existencia de infinitos primos valores, para cualquier clase de polinomios cerrado bajo turnos, viz. si $\rm\:f(n_1)\:$ es primo, entonces $\rm\:g(x) = f(x+ n_1\!+1)\:$ es el primer para algunos $\rm\:x = n_2\in\Bbb N,\:$ etc.

Para más discusión detallada de Bouniakowski de la conjetura y sus resultados, incluyendo la heurística y la probabilística argumentos, vea el Capítulo 6 de Ribenboim es El Nuevo Libro de Primer Número de Registros.

[1] Bill Dubuque, sci.matemáticas 2002-11-12, En primer producción de polinomios.

[2] Murty, La Memoria Ram. Números primos y polinomios irreducibles.
Amer. De matemáticas. Mensual, Vol. 109 (2002), no. 5, 452-458.

[3] Mott, Joe L.; Rose, Kermit. Primer producción de polinomios cúbicos.
Ideal teórico de los métodos del álgebra conmutativa, 281-317.
Notas de la conferencia en el más Puro y Appl. Math., 220, Dekker, Nueva York, 2001.

Answer 2

Proffering una ruta diferente. El polinomio $$ x^4+8\equiv x^4-2\pmod5. $$ Por lo tanto, es suficiente para mostrar que el $x^4-2$ es irreductible como un polinomio en $\Bbb{Z}_5[x]$. A ver que podemos observar que el $2$ es de orden cuatro modulo $5$. Por lo tanto los ceros de este polinomio (en algunos extensión del campo de $\Bbb{Z}_5$) son primitivas xvi raíces de la unidad. El menor exponente $m>0$ con la propiedad$16\mid 5^m-1$$m=4$. Esto significa que los ceros de $x^4-2$ pertenecen todos a un cuarto grado de extensión del primer campo. El reclamo de la siguiente manera.

Answer 3

Como $x^4+8$ es un polinomio primitivo; los únicos elementos de $\mathbb Z[x]$ que dividir el polinomio son las unidades, por el lema de Gauss, sólo necesitamos mostrar $x^4+8$ es irreducible en a $\mathbb Q[x]$.

Deje $\zeta$ ser una raíz de $x^4+2$. Por el criterio de Eisenstein, $x^4+2$ es irreductible, por lo que debemos tener $[\mathbb Q(\zeta):\mathbb Q]=4$, debido a $\{1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3\}$ es una base de $\mathbb Q(\zeta)$$\mathbb Q$. Ahora, $\zeta^3$ es una raíz de $x^4+8$, pero $\mathbb Q(\zeta^3)=\mathbb Q(\zeta)$$\zeta^6=-2\zeta^2$$\zeta^9=4\zeta$, por lo tanto $[\mathbb Q(\zeta^3):\mathbb Q]=4$, lo que implica $x^4+8$ es irreducible en a $\mathbb Q[x]$.

Answer 4

Hay muchas otras maneras de demostrar irreductibilidad aquí. Por ejemplo, si nuestro polinomio es $f(x)$, ver el $f(2x)=8(2x^4+1)$. Lo del paréntesis es irreducible si y sólo si $x^4+2$ es irreductible.

Pero mi método favorito es considerar el polinomio a ser definida sobre el $2$-ádico números, $\mathbb Q_2$, mire su Polígono de Newton, que consta de los dos puntos de $(0,3)$$(4,0)$, con el segmento de unirse a ellos, que no alcanza ningún otro integrante puntos. Por lo tanto, irreductible.

Answer 5

Las raíces de $x^4+8$ tienen valores absolutos $2^{3/4}$. El término constante de un factor de grado $d$ tendría valor absoluto $2^{3d/4}$. Pero esto no puede ser integral para $d=1,2,3$.