No incrustación de$Y\times Y$ en$\mathbb{R}^3$

Question

Sé que este es un resultado conocido, pero donde puedo encontrar una prueba? También estoy interesado en ver más generales de la no-incorporación de los resultados de este tipo.

Teorema. Deje $Y$ ser la unión de dos segmentos con un segmento de se adjunta en el centro de la otra. Entonces no hay topológica de la incrustación del espacio $Y\times Y$ en $\mathbb{R}^3$.

Fue una tarea problema en mi pregrado (sophomore) topología de la clase impartida por el Profesor Karol Sieklucki en la Universidad de Varsovia!

Answer 1

Si lo hizo incrustar como $Y \times Y \subset \mathbb{R}^3$, entonces usted puede elegir una lo suficientemente pequeña esfera, $S$ en $\mathbb{R}^3$ centrada en el punto de $(y_0,y_0)$ donde $y_0$ es el punto en donde los dos segmentos están pegados. A continuación, $S \cap Y \times Y \subset S$ es una incrustación de la completa bipartito gráfico de $K_{3,3}$ en una esfera. Pero este grafo no es plano, lo cual es una contradicción. Este argumento parece asumir la incrustación es lo suficientemente agradable, por ejemplo, simplicial con respecto a algunas de las triangulaciones de $Y \times Y$ e $\mathbb{R}^3$. Tal vez otros puedan compartir un argumento diferente que es válido para cualquier topológica de la incrustación.

Answer 2

Teorema 10 de "Una prueba alternativa de que los 3 colectores pueden ser triangulados" por RH Bing [Ann. de matemáticas Vol. 69, (1959), págs. 37-65] establece que cualquier complejo 2 simplicial embebido topológicamente$K$ en un 3-múltiple múltiple triangulado$M$ está cerca de una inserción PL de$K$ en$M$.

En particular, un complejo simplicial finito tridimensional$2$ tiene una incrustación topológica en$\mathbb R^3$ si y solo si tiene una incrustación PL en$\mathbb R^3$. Junto con la respuesta de Robert Bell, esto resuelve la pregunta.

Answer 3

Voy a demostrar que $Y^k$ no se puede incrustar en $\mathbb{R}^p$ cuando $p < 2k$.

Escribir $\mathrm{Conf}(2,X) = \{(x,x') \in X^2 \, | \; x \neq x'\}$ eliminado de la diagonal de $X$, y tenga en cuenta que cualquier inyección de $Y \hookrightarrow X$ induce un $S_2$-equivariant mapa de $\mathrm{Conf}(2,Y) \to \mathrm{Conf}(2, X)$.

Tenemos el siguiente corolario del Teorema 1.8 de mi artículo "el espacio de Configuración de un producto".

Si una incrustación $A \subseteq B$ induce un homotopy de equivalencia de pares de $(A^2, \mathrm{Conf}(2,A)) \simeq (B^2, \mathrm{Conf}(2,B))$, entonces también se induce una homotopy equivalencia $\mathrm{Conf}(2,A^k) \simeq \mathrm{Conf}(2,B^k)$ para todos los $k \geq 0$.

Aquí está un breve prueba del corolario en el caso de $k=2$.

Dos puntos en $A^2$ son distintos si y sólo si son distintos en su primera coordenada, o su segunda coordenada, o ambos. En otras palabras, $\mathrm{Conf}(2,A^2)$ es cubierto por los dos subconjuntos $A \times \mathrm{Conf}(2,A)$ e $\mathrm{Conf}(2,A) \times A$, y la intersección de estos conjuntos es $\mathrm{Conf}(2,A) \times \mathrm{Conf}(2,A)$. Como consecuencia, $\mathrm{Conf}(2,A^2)$ es el homotopy pushout de un diagrama en el que sólo depende de los par $(A^2, \mathrm{Conf}(2,A))$. Por nuestra suposición, la inclusión $A \subseteq B$ induce un pointwise homotopy equivalencia en estos pushout diagramas, y por lo tanto en homotopy pushouts. Esto concluye la prueba de $k=2$; es el caso del general $k$ requiere una mayor homotopy colimit, pero por lo demás es similar.

"La reordenación de los coches en la entrada dos veces" da una equivalencia $\mathrm{Conf}(2,Y) \simeq \mathrm{Conf}(2, \mathbb{R}^2)$, (incluso cuando se limita a la entrada y una pequeña parte de la calle, dos autos de mayo de viento alrededor de la otra), lo que lleva a una equivalencia de pares de $$ (Y^2, \mathrm{Conf}(2,Y)) \simeq (\mathbb{R}^4, \mathrm{Conf}(2,\mathbb{R}^2)) $$ inducida por la usual de inclusión $Y \subset \mathbb{R}^2$. Por el corolario, $\mathrm{Conf}(2, Y^k)$ es homotopy equivalente a $\mathrm{Conf}(2, \mathbb{R}^{2k})$, y por otra parte, este mapa es $S_2$ equivariant.

Desde $\mathrm{Conf}(2, \mathbb{R}^{p}) \simeq_{S_2} (S^{p-1}, \tau)$, donde $\tau$ denota la antipodal de acción, y de manera similar a $\mathrm{Conf}(2,Y) \simeq_{S_2} \mathrm{Conf}(2, \mathbb{R}^{2k}) \simeq_{S_2} (S^{2k-1}, \tau)$, cualquier incrustación $Y^{k} \subseteq \mathbb{R}^p$ induce un $S_2$-mapa $$ (S^{2k-1}, \tau) \a (S^{p-1}, \tau), $$ lo cual es imposible para $p<2k$ por el Borsuk-Ulam teorema.