¿Por qué los elementos nilpotentes deben permitirse en la geometría algebraica moderna?

Question

En la página de la Wikipedia sobre variedades algebraicas http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_varietyuna frase dice lo siguiente:

[[Más importantes de la modificación es para permitir nilpotents en la gavilla de los anillos. Un nilpotent en un campo debe ser 0: estos si esta permitido en coordinar los anillos no son vistos como coordinar las funciones.

A partir de la categoría de punto de vista, nilpotents debe ser permitido, con el fin de tener límites finitos de variedades (para obtener productos de fibra).]]

Así que me pregunto si hay una intuitiva ejemplo, para obtener la no-reducción de los 'esquemas' de la reducción de variedades algebraicas' (probablemente tomando el producto de fibra o similares)?

Answer 1

Estoy un poco confundido por la citada entrada en la wikipedia, porque la categoría de la reducción de los anillos también ha co-productos (tomar el producto tensor, y, a continuación, pasar al cociente por el nilradical), y por lo tanto la categoría de reducción de esquemas, la categoría de las variedades de más de un campo, y así sucesivamente, todos admiten productos de fibra. [Añadido: Ver Jim Borgers serie de comentarios a continuación para una discusión de por qué, sin embargo, no puede ser puramente descripción categórica en el sentido en el que las construcciones en la categoría de reducción de los anillos puede ser "malo", mientras que las construcciones en la categoría de todos los anillos son los correctos.]

Así que la respuesta a la pregunta de por qué necesitamos nilpotents no es que es necesaria para la existencia de productos de fibra.

Grothendieck introducido nilpotents por muchas razones, algunas de las cuales se discuten en las otras respuestas: para conseguir el correcto conteo de degenerar en situaciones, es generalmente necesario para permitir nilpotents; son también la base de la deformación de la teoría y otras aplicaciones de analítica de ideas en la geometría algebraica.

Puede ser útil recordar otra motivación, que forma una parte importante de Grothendieck de la estrategia global para el estudio de la geometría algebraica: Supongamos que queremos demostrar una propiedad sobre un morfismos $f: X \to S$. Un enfoque típico es el primer espectáculo que es una propiedad local, en cierto sentido, de modo que podamos reducir al caso en el Espec $\mathcal O_{S,s}$ para algunos el punto de $s \in S$, y, por tanto, asumir que $S$ es local; y, a continuación, utilizar un plano de descenso argumento para pasar de $\mathcal O_{S,s}$ a su culminación, y por lo tanto asumir que $S$ es la Especificación de un completo anillo local. Escribimos este completo anillo local como el proyectiva límite de los cocientes por su máxima ideales, y así reducir al caso en el $S$ es la Especificación de un Artinian anillo local. Desde un Spec tiene un único punto, podemos entonces la esperanza de reducir a la comprobación de nuestra propiedad en la fibra más sobre este punto, que nos reduce al caso en el $S$ es la Especificación de un campo.

Este es un método de gran alcance, que es absolutamente necesario que nosotros seamos capaces de hacer de la geometría a través de una Artinian anillo (y por lo tanto nos obliga a permitir nilpotents). Viene en infinidad de lugares, por ejemplo, en el establecimiento de las propiedades básicas de abelian esquemas, reduciendo a la abelian variedad de casos. Ver el contesta a esta pregunta para ver algunos ejemplos.

Answer 2

Supongamos que usted quiere hacer módulos de teoría o, para ponerlo más simple, usted está interesado en deformaciones y degeneraciones. A menudo, los degenerados de los objetos tienen un modo natural y sin reducción de la estructura. De hecho, es posible que el tomar la correspondiente reducción de esquema de los tornillos de las cosas.

Aquí hay dos ejemplos sencillos:

Ejemplo #1: Considerar los morfismos $\mathbb A^2\to \mathbb A^1$ definido por $(x,y)\mapsto x^2$. Las fibras son las curvas definidas por $x^2=\lambda$. Para $\lambda\neq 0$ esta es una parábola y para $\lambda=0$ a (doble) de la línea. Si consideramos sólo reduce los esquemas, entonces esto es sólo una línea, pero de otra manera nos sería de esperar que los miembros de una familia de curvas planas tienen la misma intersección números (contado correctamente y cuenta también con intersecciones a infinito) con otras curvas. Tomar otra línea en posición general, uno puede ver fácilmente que la parábola intersecta en $2$ puntos mientras que la línea en sólo $1$. Considerando el esquema teórico de la fibra $x^2=0$ que es una línea doble resuelve este problema.

Ejemplo #2: Deje $X=\{(1,\lambda t, t^2,t^3)\vert (t,\lambda)\in \mathbb A^2\}\subset \mathbb A^3$. Esta es una superficie definida "clásico". Considere la posibilidad de su proyección a $\mathbb A^1$ asignando el punto de $(1,\lambda t, t^2,t^3)$ a $\lambda$. Denotamos por $f:X\to\mathbb A^1$. Aún así es bastante clásica. Ahora observe que el (clásico=reducción) de fibra de $f$ sobre $\lambda=0$ es un nodal cúbicos de la curva, mientras que para $\lambda\neq 0$ es un trenzado cúbicos. También aviso de que esta familia puede ser fácilmente compactified a ser un proyectivo de la familia, por lo que tenemos una familia de $\mathbb P^1$'s degenerando a un proyectiva nodal de la curva. Sin embargo, sin nilpotents esto conduce a dolor de cabeza severo.

Desde $X$ es irreductible e $\mathbb A^1$ es no-singular, $f$ debe ser plana. Pero las fibras de un plano de morfismos han constante de Hilbert polinomios, en particular, su aritmética género es constante. La aritmética de género de un trenzado cúbicos (es decir, $\mathbb P^1$) es $0$ mientras que el de un nodal cúbico es $1$. Si quieres un completo clásico argumento, entonces uno podría decir que el nodal cúbico es también una evidente degeneración de la no-singular plano cúbico curvas. Trabajando a través de los números complejos un plano cúbico es un toro, mientras que un trenzado cúbico es una esfera. Así que esto podría sugerir que es posible deformar una esfera a un toro....

La resolución de este dilema es que si calcular el esquema teórico de la fibra (el uso de productos de fibra), a continuación, verá que la correcta fibra de más de $\lambda=0$ es en realidad el nodal cúbicos, con un nilpotent sentado en la singularidad. Por lo que la fibra es un no-reducción del régimen y su aritmética género es $0$, por lo que todos podemos dormir tranquilos.

Answer 3

He aquí un ejemplo que pone de relieve por qué nilpotents son menos informativos: Considerar la intersección de las curvas en $\mathbb{A}^2$ definido por $y=x^2$ e $y=0$. Set-teóricamente, no es sólo el punto de $(0,0)$, pero este no tiene en cuenta el hecho de que la multiplicidad de la intersección es $2$.

Sin embargo, uno puede frase este caso simple en términos de productos de fibra (como su petición) de la siguiente manera: Vamos a $C$ el valor de la curva en el $\mathbb{A}^2$ definido por $y=x^2$ y deje $\pi:C\to \mathbb{A}^1$ denotar la proyección a la $y$ coordinar. A continuación, el producto de fibra de $\pi$ a lo largo de la inclusión de $0\hookrightarrow \mathbb{A}^1$ es precisamente (el espectro de) $K[x]/(x^2)$, y este exponente $2$ (que es el índice de ramificación de $\pi$ a $(0,0)\in C$) "ve" este aumento en la multiplicidad a través de. nilpotence!

Answer 4

No reduce los esquemas de la muy interesante geométrica de la propiedad que efectivamente equipar a puntos con "infinitesimal orientaciones" similares a las derivadas direccionales en la geometría diferencial. Vale la pena realmente dibujando algunos no reducido afín curvas y ver cómo se comportan mirando el álgebra. La motivación para la definición formal de la suavidad, por ejemplo, está basado en esta observación, es decir, que dado un mapa de $X_{red}\to Y$ de %de $S$- planes, con $X$ un esquema afín, queremos ser capaces de levantar este mapa en un mapa de $X\to Y$. Es decir, formal suavidad de $Y$ dice que $Y$ a nivel local es lo suficientemente bueno para acomodar las deformaciones infinitesimales de mapas desde afines.

No estoy seguro de que esta fue la motivación original para permitir nilpotents, pero es claro que nilpotents nos dan una imagen mucho más rica de la geometría.

Edit: Para evitar cualquier confusión, por favor, tenga en cuenta que el engrosamiento de la forma $X_{red}\to X$ no siempre funciona si $X=Spec(A)$ no satisface suficientemente bueno finitud propiedades (en particular, el nilradical debe ser un nilpotent ideal, que puede fallar estrepitosamente, lejos de Noetherian anillos). En general, el requisito es que tenemos, por cualquier plaza de cero nilpotent engrosamiento de afín a los esquemas de más de $S$, $Spec(T/J)\to Spec(T)$ (donde $J^2=0$ es nilpotent ideal de $T$) y en cualquier mapa de $S$-esquemas $f:Spec(T/J)\to Y$, no existe un mapa de $S$-esquemas $\tilde{f}:Spec(T)\to Y$ ampliar el mapa de $f$.

Answer 5

El ejemplo más fácil que se me ocurre es considerar el mapa$\mathbb{A}^1\to \mathbb{A}^1$ enviando$x\to x^2$, donde$x$ es la coordenada. Luego tome la fibra sobre el origen, que sería$Spec k[x]/(x^2)$. La idea es que$x=0$ en la fibra debe contarse "dos veces".

Hay mucho más que uno puede decir acerca de por qué esto es útil, y tal vez alguien más lo hará. Pero permítanme referirles al libro de Eisenbud y Harris para una mayor discusión.