Colector incrustado en %-%-% con un subcolector que no #39;t incrustar en %-%-%

Question

Supongamos que tenemos un cerrado $m$-dimensiones del colector $M$, que se incorpora en $\mathbb{R}^{n+1}$ para algunos $n$. Puede tener un sistema cerrado submanifold $N$ (de dimensión estrictamente menor que $m$), lo que hace que no se incruste en $\mathbb{R}^n$? (Por lo que me quiere decir que no hay una incorporación no sólo de que la restricción/proyección de la primera no funciona.)

No estoy seguro de lo importante que es la dimensión de la $N$ es; parece codimension 1 sería el lugar más fácil para encontrar un ejemplo, pero yo también estoy interesado en el mayor codimension ejemplos. De hecho, hay un límite superior para el codimension en el que tales ejemplos pueden existir?

En particular, quiero un codimension 1 ejemplo donde tanto $M$ e $N$ son orientables. O un ejemplo (orientable o no) por $n=2$ o $3$, pero tal vez hay obstrucciones en las dimensiones bajas...

Soy principalmente pensando en suave colectores, pero hay ejemplos en la categoría topológica también sería interesante.

Answer 1

Si he entendido la tabla de la

http://www.lehigh.edu/~dmd1/immtable

correctamente, a continuación, $\mathbb{RP}^{10}$ incrusta en $\mathbb{R}^{17}$. Pero por

Mahowald, Marca En la embeddability de la real espacios proyectivos. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 13 1962 763-764.

$\mathbb{RP}^9$ no incrusta en $\mathbb{R}^{16}$.

Answer 2

He aquí otra manera de ejemplos, en codimension uno y en dimensiones bajas. Hay un montón de orientado cerrado 3-variedades que no se incruste en el 4-espacio, por ejemplo, 3-colector $M$ con $H_1(M) \cong \mathbb{Z}_{2n}$. Pero un teorema de Hirsch dice que $M$ incrusta en $\mathbb{R}^5$. Por un estándar de transversalidad argumento (como el que produce Seifert superficies de mayores dimensiones nudos) $M = \partial W$ para algunos orientado $W \subset \mathbb{R}^5$. Ahora $W$ tiene un trivial normal bundle, por lo $W \times I \subset \mathbb{R}^5$, y por lo $M \subset \partial(W \times I)$, que es el doble de $W$.

Usted puede hacer algo similar con una orientada cerrado $n$-colector de que no incorpora en $n+1$-en el espacio, pero no incrustar en $n+2$ espacio. Estos no son tan fáciles de encontrar, para $n=4$ fueron construidos por Tim Cochran (Inventiones Matemáticas. 77 (1984), 173--184). Si no te importa no orientable ejemplos, entonces usted puede hacer esto con $n=2$. Para una botella Klein incrusta en el quaternionic la forma del espacio $S^3/Q8$, que a su vez se integra en $\mathbb{R}^4$. (Es el límite de un tubular de barrio de una incrustado $RP^2$.) Pero una botella de Klein no se puede incrustar en $\mathbb{R}^3$.

Answer 3

Si usted está interesado en un ejemplo codimension 2 ejemplos (que también pasa a involucrar a dos orientable colectores), de acuerdo a la tabla de la página 2 en la encuesta

Davis, Donald M. Incrustaciones de bienes espacios proyectivos, Bol. Soc. Mat. Mex. 4 (1998) 115-122.

$\mathbb{RP}^{39}$ incrusta en $\mathbb{R}^{71}$, pero $\mathbb{RP}^{37}$ no incrusta en $\mathbb{R}^{70}$.

El primer resultado es acreditado a:

Rees, Elmer, Incrustaciones de bienes espacios proyectivos, de la Topología de 10 (1971) 309-312.

y la segunda a

Adem, José, Gitler, Samuel, y Mahowald, Mark E. Incrustación y la inmersión de los espacios proyectivos, Bol. Soc. Mat. Mex. 10 (1965) 84-88.

Answer 4

A continuación se muestra un ejemplo sencillo, que usa %-%-%-manifolds y %-%-%-manifolds.

Una botella de Klein no se incrusta en %-%-%. Pero es un subcolector de un 3-manifold que se incrusta en %-%-%. Para el %-%-%-manifold tome el paquete normal de la unidad de la incrustación estándar de la botella Klein en %-%-%. Este paquete tiene una sección, por lo que contiene la botella Klein. La clase Euler de este paquete es cero.