¿El último teorema de Fermat se mantiene en los ordinales?

Question

Mi pregunta es si no hay soluciones no triviales en los ordinales de las ecuaciones derivadas en el último teorema de Fermat $$x^n+y^n=z^n$$ donde $n\gt 2$, y donde usamos el natural ordinal de la aritmética, que es conmutativa.

(Nota: Si se hubiera utilizado el habitual ordinal aritmética, hay algunas contraejemplos, como $1^3+\omega^3=\omega^3$.)

La pregunta gira fuera de mi respuesta a Saint Georg reciente de la cuestión, la Teoría de La Transfinito Diophantine Ecuaciones.

Feldmann Denis se señaló en los comentarios, no que por muy pequeño ordinales (por debajo de $\omega^\omega$), la cuestión se reduce a la pregunta correspondiente de polinomios, donde tiene una respuesta afirmativa. Podemos extender esta observación para el trabajo de todos los ordinales?

Answer 1

No hay soluciones no triviales. Esto se desprende de los Ardides de la prueba, y la siguiente observación.

Proposición: Si un conjunto de Diophantine ecuaciones tiene una solución en (positivo) ordinales natural la suma y el producto, entonces tiene una solución en (positivo) de números naturales.

Prueba: Cada ordinal puede ser el único escrito en forma normal de Cantor $$\tag{$*$}\alpha=\sum_{i<k}\omega^{\alpha_i}n_i,$$ donde $\alpha_i>\alpha_{i+1}$ e $0<n_i<\omega$ para todos los $i<k$. Definir una función $f\colon\mathrm{Ord}\to\omega$ por $f(\alpha)=\sum_jn_j$. Observe que $f(\alpha)=0$ sólo si $\alpha=0$, e $f(n)=n$ para todos los $n<\omega$. La proposición de la siguiente manera

Reclamo: $f$ es un homomorphism con respecto a los naturales de la suma y el producto.

Esto, a su vez sigue a partir de la expresión de las operaciones en términos de Cantor forma normal. Para la suma, vamos a $\alpha$ y $$\beta=\sum_i\omega^{\alpha_i}m_i$$ como en $(*)$, salvo que nos permitir $n_i$ e $m_i$ a cero. Entonces su suma es natural $$\def\ns{\mathbin\#}\alpha\ns\beta=\sum_i\omega^{\alpha_i}(n_i+m_i),$$ por lo tanto $$f(\alpha\ns\beta)=\sum_i(n_i+m_i)=f(\alpha)+f(\beta).$$ Como para el producto, la expresión en $(*)$ es válido, incluso si interpretamos que la suma y el producto no natural de las operaciones, y el producto natural es asociativa y distributiva naturales suma, por lo tanto es suficiente con considerar únicamente en el caso de $\alpha=\omega^{\alpha_0}$ e $\beta=\omega^{\beta_0}$. Sin embargo, luego de su producto natural es $\gamma=\omega^{\alpha_0\ns\beta_0}$, e $f(\gamma)=1=f(\alpha)f(\beta)$.

Answer 2

La revisión (por Erdos) de Sierpinski, Le dernier théorème de Fermat pour les nombres ordinaux, Fund. Mates. 37 (1950) 201–205, MR0040372 (12,683c), dice, "... hay ordinales transfinitos arbitrariamente grandes$\alpha,\beta,\gamma$,$\alpha\lt\beta\lt\gamma$ para todos$n=1,2,\dots$,$\alpha^n+\beta^n=\gamma^n$. No he mirado el documento, así que no sé si esto es en aritmética ordinal natural o habitual.