Espacios '$K(\pi, n)$' que ocurren naturalmente, para$n \geq 2$.

Question

[editado!] Dado un grupo de $\pi$ y un entero $n>1$, ¿cuáles son los ejemplos de Eilenberg-Maclane espacios de $K(\pi, n)$ que puede ser construido como "conocidos" colectores? (o si no un colector, dicen algunos de espacio, la gente tenía una pre-existentes deseo de estudiar antes de $K(\pi,n)$ espacios fueron identificados como de interés)

La construcción de $K({\bf Z}, 2)$ as ${\bf CP}^{\infty}$ es el único ejemplo que conozco -, pero no debe ser más por ahí.

Estoy interesado en hormigón ejemplos (como la de arriba) que podría, por ejemplo, se dará en Temas de graduación del curso de topología de los estudiantes. Parecen ser escasos, por lo que sería bueno saber lo que era conocido.

Nota: he excluido $n=1$ debido a que la mayoría de la gente sabe ejemplos (o puede averiguar) en este caso.

Answer 1

Deje que BTOP y BPL sean los espacios de clasificación de los paquetes de esfera topológica / PL y$TOP/PL$ la fibra de homotopía del mapa$BPL \to BTOP$. El$TOP/PL$ es un modelo para un$K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},3)$ de Kirby y Siebenmann. Esto identifica una tercera clase de cohomología como obstrucción para obtener una estructura PL en un conjunto de esferas topológicas.

Answer 2

Si $M$ es un hyperfinite tipo de $I\!I\!I_1$ factor, entonces (al menos conjecturally), su grupo de exterior automorfismos es una $K(\mathbb Z,3)$.

Esto se basa en los siguientes tres propiedades del álgebra de von Neumann:
• El grupo de la central unitaria de elementos de $M$ es un círculo, y por lo tanto un $K(\mathbb Z,1)$.
• El grupo de unitaries en $M$ es contráctiles.
• El automorphism grupo de $M$ es contráctiles (conjetural).

A ver que $Out(M)\cong K(\mathbb Z,3)$, aplicar el largo de la secuencia exacta de homotopy grupos para los dos siguientes fibra de secuencias: $$U(Z(M)) \a U(M) \a Inn(M)$$ $$Inn(M) \a Aut(M) \a(M)$$

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Como consecuencia de ello, también conseguimos que $BOut(M)\cong K(\mathbb Z,4)$.

Recomiendo mi charla "Un K(ℤ,4) en la naturaleza" (MSRI, abril de 2014), para una explicación de cómo se dan cuenta de $Out(M)$ como el automorphism grupo de una forma natural mathemtical objeto.

Answer 3

El seguimiento en la Dai de la respuesta, se puede ir un paso más allá desde $P U(H)$ es obviamente un grupo. Así que si podemos encontrar una contráctiles espacio en el que actúa libremente, el cociente será el siguiente nivel hacia arriba (es decir, un $K(\mathbb{Z},3)$.

Este espacio puede ser construido de la siguiente manera: tomar nuestro favorito (separables, aunque no es necesario) el espacio de Hilbert, $H$, y considerar la posibilidad de $HS(H)$, el espacio de Hilbert-Schmidt a los operadores en $H$. Este es isomorfo a Hilbert producto tensor $H^* \widehat{\otimes} H$, por lo que es un espacio de Hilbert. Su grupo unitario es así contráctiles. El grupo $U(H)$ actúa en $HS(H)$ por la conjugación, y una vez que dividimos a cabo por el centro de esta se convierte en libre. Por lo tanto $P U(H)$ actúa en $U(HS(H))$ libremente y de modo que el cociente es un $K(\mathbb{Z},3)$.

Sin embargo, como $P U(H)$ no actúan de forma centralizada en $U(HS(H))$, la iteración se detiene aquí.

Answer 4

El siguiente ejemplo aparece en la definición de teoría retorcida$K$.

Deje que$H$ sea un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita sobre$\mathbb{C}$. Como el grupo unitario$U(H)$ es contraíble, el grupo unitario proyectivo$PU(H)= U(H)/S^1$ tiene el tipo de homotopía de$K(\mathbb{Z},2)$. El hecho de que$BPU(H)\simeq K(\mathbb{Z},3)$ y el hecho de que$PU(H)$ actúe en el espacio de los operadores de Fredholm$\mathrm{Fred}(H)$ son esenciales en la definición de la teoría retorcida$K$.

Answer 5

No es un modelo muy bonito de $K(\mathbb Z,n)$, que está dada por la libre abelian topológico grupo en la punta de espacio $(S^n,\star)$, que nos llame a ese $F(S^n,\star)$. Un elemento en $F(S^n,\star)$ está dado por un conjunto finito de puntos en $S^n \setminus \lbrace\star\rbrace$ de manera tal que cada punto en este finito lleva un entero distinto de cero como una etiqueta con el obvio adición. La topología es la más sutil de describir y de hecho de tal manera que $F(S^n,\star)$ es un abelian topológico grupo, la inclusión $S^n \subset F(S^n,\star)$ es continua y $\star=0$ en $F(S^n,\star)$.

Aunque, no estoy seguro de si $F(S^n,\star)$ es un infinito-dimensional colector (creo que no), es todavía bastante regular, siendo un grupo topológico y un CW-complejo al mismo tiempo.

Todo esto es muy clásico y fue estudiado en detalle en

Dold, Albrecht; Thom, René, Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte., Ann. de Matemáticas. (2) 67 1958 239-281.