¿Existe una buena prueba del hecho de que hay (p-1) / 24 curvas elípticas supersingulares en la característica p?

Question

Si $k$ es una característica $p$ campo que contiene un subcampo de la con $p^2$ elementos (por ejemplo, una clausura algebraica de $\mathbb{F}_p$), luego el número de clases de isomorfismo de supersingular curvas elípticas sobre $k$ tiene una fórmula que involucra $\lfloor p/12 \rfloor$ y el residuo de la clase de $p$ mod 12, descrito en el Capítulo V de Silverman es La media Aritmética de Curvas Elípticas. Si el peso de estas curvas por los recíprocos de las órdenes de sus automorphism grupos, obtenemos la sustancialmente más simple Eichler-Deuring masa fórmula: $\frac{p-1}{24}$. Por ejemplo, cuando se $p=2$, el único supersingular curva de $y^2+y=x^3$ ha endomorphisms dada por la Hurwitz enteros (un máximo de orden en los cuaterniones), y su automorphism grupo es por lo tanto isomorfo al binario tetraédrica grupo, que tiene orden de 24.

Silverman le da a la masa de la fórmula como un ejercicio, y es bastante fácil que se derivan de la fórmula en el texto. La prueba de la complicada fórmula utiliza la Legendre forma (por lo que sólo trabaja fuera de la 2), y la aparición de la $p/12$ se reduce a los siguientes dos hechos:

1. Supersingular valores de $\lambda$ son precisamente las raíces de la Hasse polinomio, que es separable de grado $\frac{p-1}2$.
2. El $\lambda$-line es un 6 veces la cobertura de la $j$-línea lejos de $j=0$ e $j=1728$ (de modo que las raíces lejos de estos valores dan un sobre cuenta por un factor de 6).

Pregunta: ¿hay una prueba de la Eichler-Deuring fórmula en la literatura, lo que evita la mayoría de los análisis de caso, por ejemplo, mediante el uso de un formulario normal de representable nivel?

Supongo que cualquier no-trivial nivel de estructura probablemente requieren un tratamiento especial, para el primer(s) dividiendo ese nivel. Aún así, sería agradable ver a cualquier adecuadamente holístico de la enumeración, en particular, uno que no necesita de una sola especiales $j$-invariantes.

(Esta pregunta ha sido preocupante de mí por un tiempo, pero Greg pregunta me inspiró a escribir hacia abajo.)

Answer 1

Un argumento (tal vez no de la clase que usted desea) es utilizar el hecho de que la wt. 2 Eisenstein serie en $\Gamma_0(p)$ tiene término constante (p-1)/24.

Más precisamente: si $\{E_i\}$ son los s.s. curvas, a continuación, para cada una de las $i,j$, el Hom espacio de $L_{i,j} := Hom(E_i,E_j)$ es una red con una forma cuadrática (el grado de una isogeny), y podemos formar la correspondiente theta serie $$\Theta_{i,j} := \sum_{n = 0}^{\infty} r_n(L_{i,j})q^n,$$ donde como de costumbre, $r_n(L_{i,j})$ denota el número de elementos de grado $n$. Estos son los wt. 2 formas en $\Gamma_0(p)$.

Hay un emparejamiento en el $\mathbb Q$-span $X$ de la $E_i$ dada por $\langle E_i,E_j\rangle = $ # $Iso(E_i,E_j),$ i.e. $$\langle E_i,E_j\rangle = 0 \text{ if } i \neq j\text{ and equals # }Aut(E_i) \text{ if }i = j,$$ y otra fórmula para $\Theta_{i,j}$ es $$\Theta_{i,j} := 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \langle T_n E_i, E_j\rangle q^n,$$ donde $T_n$ es el $n$th Hecke correspondencia.

Ahora escribo $x := \sum_{j} \frac{1}{\text{#}Aut(E_j)} E_j \in X$. Es fácil ver que para cualquier fija $i$, el valor de la vinculación $\langle T_n E_i,x\rangle$ es igual a $\sum_{d |n , (p,d) = 1} d$. (Este es el número de $n$-isogenies con origen $E_i,$ donde el objetivo es contar una isomorfismo.) Ahora $$\sum_{j} \frac{1}{\text{#}Aut(E_j)} \Theta_{i,j} = \bigg{(}\sum_{j} \frac{1}{\text{#}Aut(E_j)}\bigg{)} + \sum_{n =1}^{\infty} \langle T_n E_i, x\rangle p^n = \bigg{(}\sum_{j}\frac{1}{\text{#}Aut(E_j)}\bigg{)} + \sum_{n = 1}^{\infty} \bigg{(}\sum_{d | n, (p,d) = 1} d\bigg{)}p^n.$$

Ahora el LHS es modular de peso. 2 en $\Gamma_0(p)$, por lo tanto así es la RHS. Ya sabemos todos sus coeficientes de Fourier además el término constante, y que coinciden con los de la Eisenstein serie, debe ser la de Eisenstein de la serie. Por lo tanto sabemos de su término constante, y que le da a la masa de la fórmula.

(Nadie puede reemplazar a los aspectos geométricos de este argumento, involucrando a s.s. curvas y Hecke correspondencias con la pura teoría de grupo/automorphic formas: a saber, el conjunto de $\{E_i\}$ es precisamente el idele conjunto de clases de la multiplicativo grupo $D^{\times}$ donde $D$ es el quat. alg. más de $\mathbb Q$ ramificado en $p$ e $\infty$. Esta fórmula, la escritura de los Eisenstein serie como una suma de la teta de la serie, es entonces un caso especial de la Seigel--Weil fórmula, creo, que en general, cuando se pasa a la constante términos, da masa fórmulas del tipo que se le preguntó acerca.)

Answer 2

También puede hacer esto "topológicamente". La idea es calcular por separado la (l-ádico etale) de Euler características de la pila de $Y_0(p)$ en $\mathrm{char}$ $0$ y en $\mathrm{char}$ $p$, luego ver cómo se deben relacionar. Aquí vamos:

Más de $\mathbb{C}$, y por tanto, con $\bar{\mathbb{Q}}_p$ así, la característica de Euler de $Y_0(p)$ es $(p+1)\times(-1/12)$, ya que el $Y_0(p)$ es $(p+1)$-pliegue de la cubierta de $Y=M_{ell}$.

Por otro lado, más de $\bar{\mathbb{F}}_p$, hasta "homeomorphism" $Y_0(p)$ es de dos copias de Y pegado en la supersingular puntos, por lo que la característica de Euler es $2\times(-1/12) - S$ (donde $S$ es el "número" de supersingular curvas elípticas).

Sin embargo, desde la $Y_0(p)$ semi-reducción estable (y es constante en el infinito) a través de $\mathbb{Z}_p$, la fibra especial, es obtenido a partir de los genéricos de la fibra mediante la contratación de un montón de los "círculos" de los puntos, uno para cada punto nodal de la fibra especial; por lo tanto nuestro segundo ($\mathrm{char}$ $p$) la característica de Euler es igual a nuestro primer ($\mathrm{char}$ $0$) Euler característica más $S$. Comparar y resolver para $S$ da la fórmula con bastante rapidez.

Answer 3

Este será un resumen de la prueba de referencia BCnrd en los comentarios, para el beneficio de aquellos que no han mirado a través de Katz, Mazur, la Aritmética de los Módulos de Curvas Elípticas. Una exploración está disponible como una inescrutable djvu cerca de la parte inferior de Katz de la página web. Me gustaría señalar, en particular, de lo diferente que es a partir de Emerton de la prueba, y cómo el libro de texto de prueba de que he resumido en la declaración de la cuestión es esencialmente el mismo como esta, pero oficios de algunos claridad conceptual para la simplicidad de vocabulario. La correspondiente corolario (12.4.6) está en la página 358, que es la página 185 de la exploración.

Katz y Mazur empezar con una de los módulos problema $P$ (es decir, un functor de $(Ell)$ a de Conjuntos) representable por un esquema de $M(P)$. Suponemos que $P$ se define a través de una clausura algebraica de $\mathbb{F}_p$, y es finito étale más de $(Ell/\overline{\mathbb{F}_p})$. Esto significa que uno tiene un étale surjection de $M(P)$ a la pila de curvas elípticas sobre $\overline{\mathbb{F}_p}$. No es un distinguido sección de la línea bundle $\omega_P^{p-1}$, llama la Hasse invariante. Se define como el diferencial de la Verschiebung, que explicaré un poco más adelante, y que satisface dos propiedades fundamentales:

1. La Naturaleza invariante se desvanece si y sólo si la curva es supersingular.
2. Todos los ceros tienen multiplicidad uno (Igusa del teorema).

Por línea general de paquete de la aritmética, el número total de ceros de esta sección en $P$, contando multiplicidad, es igual a $p-1$ veces el grado de $\omega$, o lo que es equivalente, $\frac{p-1}{24}$ veces el grado de $P$ más (Ell).

Para completar la prueba, una muestra de que la preimagen de un punto en la composición de la $M(P) \to \mathcal{M}_{Ell} \to \mathbb{A}^1_j$ tiene un tamaño igual al grado de $P$ sobre $(Ell)$ dividido por el orden de los automorphism grupo subyacente de la curva elíptica, mediante el uso de la representabilidad para deducir la libertad de la acción del grupo. Este rendimientos $$\deg P \cdot \sum_{\text{supersingular } j} \frac{1}{|\operatorname{Aut} E_j|} = \deg P \cdot \frac{p-1}{24},$$ y hemos terminado.

El Verschiebung y la Naturaleza invariante merecen alguna explicación adicional. Para cualquier $\mathbb{F}_p$-esquema de $X$, hay una absoluta Frobenius mapa de $X \to X$ que en cuñados es el functor $\operatorname{Spec}$ que se aplica a la $p$-th mapa de poder. Para un $\mathbb{F}_p$-esquema de $S$ e una $S$-esquema de $X$, se obtiene un $S$-esquema de $X^{(p)}$ como la retirada de $X$ más de la absoluta Frobenius en $S$. Por la característica universal de pullbacks, la absoluta Frobenius en $X$ factores a través de una $S$-mapa de $X \to X^{(p)}$, llama la relativa Frobenius. A través de una curva elíptica $E \to S$, este mapa resulta ser un isogeny de grado $p$. El Verschiebung $V: E^{(p)} \to E$ se define como el doble a la relativa Frobenius isogeny $F: E \to E^{(p)}$, y la multiplicación por $p$ mapa en $E$ factores $[p] = VF$.

El núcleo de Frobenius es siempre la conexión de un esquema de grupo de la longitud de la $p$, y el núcleo de la Verschiebung sobre un campo está conectado si y sólo si el total $p$-torsión subgrupo está conectado. El último caso puede ser tomado como una definición de supersingularity más de puntos geométricos, y para general $\mathbb{F}_p$-planes, cualquier familia de curvas elípticas con al menos una supersingular geométrico de la fibra se llama supersingular. La Naturaleza invariante es la inducida por el mapa en $S$-álgebras de Lie: $\text{Lie}V: \text{Lie}(E/S)^{(p)} \to \text{Lie}(E/S)$. Es un isomorfismo si y sólo si $E$ no es supersingular (es decir, $E$ es normal), como uno puede calcular mediante el examen de los grupos formales. Se puede escribir como un elemento de $\text{Hom}(\text{Lie}(E/S)^{(p)}, \text{Lie}(E/S)) = \text{Hom}(\text{Lie}(E/S)^{\otimes p}, \text{Lie}(E/S)) = H^0(S, \omega_{E/S}^{\otimes p-1})$. Es una forma modular de peso $p-1$, y su $q$-expansión es idéntica 1.

El hecho de que $\omega_P$ tiene el grado $\frac{1}{24}\deg P$ es todavía un poco de un conceptual misterio para mí. Es demostrado por primera calcularlo para un nivel completo 3 estructura (que tiene un grado 24) y, a continuación, transferir a todos los demás representable módulos de problemas.