Considere la posibilidad de un d-dimensional vector aleatorio$\ X=(X_j)$.$\ X$ se llama intercambiables si$\ (X_1,...X_d)\mathop = \limits^d({X_{{j_1}}},...,{X_{{j_d}}})$ para cualquier permutación$\ j_1,..., j_d$. Si$\ X_j$ son iid,$\ X$ es intercambiable. El recíproco es falso (corríjanme si estoy equivocado). ¿Qué podemos decir acerca de sólo idénticamente distribuidas $\ X_j$? ¿Qué podemos decir acerca de $\ X_j$ si sabemos que$\ X$ es intercambiable?
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goric
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La intercambiabilidad implica ser idénticamente distribuidas, pero no a la inversa. Canjeable secuencia tiene el extra de simetría.
Por ejemplo, a continuación he escrito la articulación función de masa de $(X,Y)$, donde $X$ $Y$ tomar valores en $\{0,1,2\}$. La comprobación de los marginales muestra que son idénticamente distribuidas, pero $$\mathbb{P}(X=0,Y=2)=1/7\neq \mathbb{P}(Y=0,X=2)=0/7.$$ Es decir, las variables aleatorias $X$ $Y$ tienen la misma distribución, pero el azar los vectores $(X,Y)$ $(Y,X)$ no.
$$\begin{array}{c|ccc} x\backslash y&0&1&2\cr \hline 0&0/7&1/7&1/7\\ 1&2/7&0/7&1/7\\ 2&0/7&2/7&0/7\\ \end{array} $$
Ver aquí y aquí para más aplicaciones de la intercambiabilidad.
Una manera fácil de crear una intercambiables aleatorios vectoriales $X=(X_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ es a partir de un yo.yo.d. secuencia $(Y_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ y para definir, para cada $k$, $X_k=\Phi(U,Y_k)$, donde $U$ es una variable aleatoria independiente en $(Y_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ $\Phi$ una función medible.
Y, en cierto sentido, esta es la única manera... como muestra de Finetti de secuencias infinitas y por Diaconis y Freedman para secuencias finitas.
Michael Hardy
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Si lo contrario fuera cierto, entonces "yo.yo.d." e intercambiabilidad sería la misma cosa, y en lugar de tener un concepto de "intercambiabilidad", uno podría tener un teorema diciendo que hay estos dos equivalentes de las caracterizaciones del concepto.
La intercambiabilidad es más fuerte que en la similitud de la distribución. Tenga en cuenta que $X_1\overset{d}{=}X_{j_1}$, por lo que estos dos son idénticamente distribuidas, y $j_1$ podría ser de cualquier índice.
Un par de ejemplos importantes de la intercambiabilidad:
- Primero elige $p\in(0,1)$ al azar y supongo que es distribuido uniformemente, entonces vamos a $X_1,X_2,X_3,\ldots$ condicionalmente yo.yo.d. dado $p$,$X_1 = \left.\begin{cases} 1 & \text{with probability }p \\ 0 & \text{with probability }1-p \end{cases} \right\}$. A continuación, $X_1,X_2,X_3,\ldots$ no son independientes. A ver, supongamos, se observan los primeros 20 de estos son iguales a $1$. Que hace que sea muy probable que los $p$ es cerca de $1$, por lo que es probable que $X_{21}$ es igual a $1$. Pero por la simetría en la forma en que el se describe la distribución, son intercambiables. De Finetti del teorema dice que cada infinitamente larga intercambiables secuencia es una mezcla de yo.yo.d. las secuencias de esta manera (pero la distribución de $p$ no necesita ser uniforme).
- Supongamos que una urna contiene 10 rojo y el 15 de mármol verde, y $X_k$ el número de canicas rojas en la $k$th empate sin reemplazo, por $k=1,\ldots,12$. Si usted ve $10$ canicas rojas en la primera $10$ sorteos, entonces usted sabe que el 11 de uno estará de color verde, así que no son independientes. Pero no es difícil mostrar que están intercambiables. A diferencia del ejemplo anterior, este no puede ser extendido a un ser infinitamente larga secuencia en la que intercambiable variables aleatorias.
No se puede decir nada acerca de la distribución de $X_j$ si usted sabe que es parte de un intercambiables de la secuencia, ya que cualquier distribución en todo se puede en ese papel.
