El teorema de Sylvester-Gallai sobre los campos de %-%-%-adic

Question

El famoso teorema de Sylvester-Gallai indica que, para cualquier conjunto finito $X$ de los puntos en el plano de $\mathbf{R}^2$, no todo en una línea, hay una línea que pasa a través de exactamente dos puntos de $X$.

¿Qué sucede si reemplazamos $\mathbf{R}$ por $\mathbf{Q}_p$?

Es bien sabido que el teorema de falla si reemplazamos $\mathbf{R}$ por $\mathbf{C}$: el conjunto de $X$ de flexiona de un no-singular complejo cúbico curva tiene la propiedad de que cada línea que pasa a través de dos puntos de $X$ también pasa a través de un tercero.

Por ejemplo, la dobla de la curva de Fermat $C:X^3+Y^3+Z^3=0$ están dados por la ecuación de $XYZ=0$ y están todos definidos en el campo $\mathbf{Q}(\zeta_3)$ generado por una raíz cúbica de la unidad $\zeta_3$. Como consecuencia, si un campo $K$ contiene $\mathbf{Q}(\zeta_3)$ entonces el conjunto de flexiona de $C$ da un contraejemplo al teorema de Sylvester-Gallai más de $K$. Por ejemplo, para cualquier prime $p \equiv 1 \pmod{3}$, el campo de $\mathbf{Q}_p$ contiene $\mathbf{Q}(\zeta_3)$, de modo que Sylvester-Gallai conmuta $\mathbf{Q}_p$.

No sé lo que sucede en el caso de $p=3$ o $p \equiv 2 \pmod{3}$. Tenga en cuenta que el conjunto de flexiona de $C$ no está definido sobre $\mathbf{Q}_p$ más, pero nada impide a los más complicadas configuraciones de los puntos de dar contraejemplos para el teorema de más de $\mathbf{Q}_p$.

Más generalmente, lo que sucede en un campo arbitrario $K$? Es cierto que el teorema de Sylvester-Gallai cuenta con más de $K$ si y sólo si $K$ no contiene las raíces cúbicas de la unidad?

EDIT. David Speyer hermoso ejemplo muestra que el teorema de Sylvester-Gallai conmuta $\mathbf{Q}_p$ para cualquier prime $p \geq 5$. Por otra parte, con respecto al problema de decidir si SG posee en un determinado campo de $K$ (que se parece a una pregunta difícil, al menos para mí), este y Gro-Tsen el ejemplo de mostrar que la condición de que $K$ no contiene las raíces cúbicas de la unidad claramente necesita ser refinado. Con el fin de SG para mantener más de una característica $0$ campo $K$, es necesario que el $K$ no contiene ninguna raíz de la unidad de la orden de $\geq 3$. No sé si esto también es una condición suficiente.

Answer 1

Si %-%-% y %-%-% es un campo de característica que no divide %-%-%, que contiene una raíz primitiva de la unidad %-%-%, entonces los puntos %-%-% de la forma %-%-%, %-%-%, %-%-%--ésto de la unidad %-%-%, a continuación, los puntos %-%-%de la forma %-%-%, %-%-%-%son una configuración de Sylvester-Gallai. En particular, tomando %-%-%, esto da una configuración de SG sobre %-%-% para %-%-%.

Answer 2

Sobre cualquier campo de $K$ de los característicos $\neq 2$ y que contengan $i := \sqrt{-1}$, no existe en $\mathbb{P}^2(K)$ Sylvester-Gallai de configuración con $12$ puntos dados en afín coordenadas por $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(a,a)$, $(a,b)$, $(b,a)$, $(b,b)$ donde $a := \frac{1+i}{2}$ y $b := \frac{1-i}{2}$, $\infty\cdot(0,1)$, $\infty\cdot(1,0)$, $\infty\cdot(1,i)$ y $\infty\cdot(1,-i)$ (yo he usado afín coordenadas más proyectiva, porque creo que hace que sea más fácil de comprobar: aquí obviamente, $\infty\cdot(x,y)$ se refiere al punto en el infinito en la línea que conecta $(0,0)$ e $(x,y)$). Esto es tomado de Kelly & Nwankpa, "Afín Incrustaciones de Sylverter-Gallai [sic] de los Diseños", J. Teoría Combinatoria (A) 14 (1973) 422-438, "diseño de la B", en teorema 3.10 (tenga en cuenta que el papel de forma incorrecta, escribe $b = \frac{-1+i}{2}$: esto es sólo un error tipográfico). Por supuesto, para un infinito campo, siempre puede darse cuenta de esto en el plano afín.

En particular, el teorema de Sylvester-Gallai falla por $\mathbb{Q}_p$ al $p \equiv 1\pmod{4}$ (y no sólo por $p \equiv 1 \pmod{3}$).