¿Hay un subconjunto del plano que se encuentra con cada línea en dos intervalos abiertos?

Question

Usando el Axioma de Elección, es posible construir un subconjunto del plano en el que se reúne cada línea en dos puntos (estos son los llamados "$2$-punto de conjuntos"). Lo que si, en lugar de puntos, pedimos para dos intervalos abiertos?

Algunas ideas relacionadas con el/construcciones fueron explorados en este trabajo (por ejemplo, está demostrado que no es un subconjunto del plano reunión de cada línea en una copia del conjunto de Cantor).

Si desea un intervalo abierto en lugar de dos, a continuación, $\mathbb{R}^2$ sí es suficiente (y esta es la única solución). Si desea abrir tres intervalos, luego tomar el complemento de a "$2$-punto de set" (y esta idea puede ser modificado para darle $n$ abierto intervalos para cada $n > 2$). Infinitamente muchas de intervalos es aún más fácil (tomar la unión de los interiores de los hexágonos en este mosaico, por ejemplo). El caso de dos intervalos parece más difíciles.

ACTUALIZACIÓN: Esta pregunta ya ha sido contestada: no hay un subconjunto del plano.

Terry Tao publicado algunos "parcial progreso" en el problema, que más tarde resultó ser el primer medio de una completa prueba. La segunda mitad se puede encontrar en mi respuesta a continuación. Ni post es una respuesta completa, pero ambos tomados juntos hacer el trabajo.

Yo no puedo aceptar tanto las respuestas, así que he aceptado de Terry, ya que eran los primeros, y terminó siendo el primer medio de una correcta prueba. Esto, me parece estar en línea con lo que el centro de ayuda dice acerca de lo que significa aceptar una respuesta.

Answer 1

Deje $E$ ser un conjunto de los reclamos de la forma. Llamar a una dirección $\omega \in S^1$ un límite de dirección de $E$ si existe una secuencia $p_n$ de los puntos en $E$ va al infinito cuyo argumento va a $\omega$, o, equivalentemente, si $E$ no evitar un infinito abrir el sector que contiene la dirección de la $\omega$ en el límite. Me puede mostrar lo siguiente:

La proposición. El conjunto de límite de direcciones es un cerrado no vacío subconjunto de $S^1$ que no todos los de $S^1$. Además, si $\omega$ es un límite de dirección, entonces cada línea paralela a $\omega$ cumple con $E$ en la unión de dos intervalos, uno de los cuales es la mitad de infinito en la dirección $\omega$.

Esto no resolver la pregunta, pero puede ser útil parcial progreso hacia una solución completa. Una de las consecuencias de esta propuesta es que si una línea se reúne $E$ con la mitad de un intervalo infinito (más otro intervalo), todas las líneas paralelas hacer también (puesto que la dirección de la mitad-infinito intervalo es claramente un límite de dirección).

Prueba: es claro que el conjunto de límite de direcciones está cerrado. Desde $E$ se reúne cada línea al menos una vez, es ilimitado. Por lo tanto hay una secuencia de puntos de $p_n$ en $E$ va al infinito. Por Bolzano-Weierstrass esto muestra que hay al menos un límite de dirección.

Supongamos que la dirección de la $(1,0)$ fue un límite de dirección, por lo tanto tenemos una secuencia $p_n = (x_n,y_n)$ en $E$ donde $x_n \to +\infty$ e $y_n/x_n \to 0$. Por la reflexión y pasando a la larga nos puede suponer que el $y_n$ son todos no negativos; por el cambio de $E$ hacia arriba ligeramente, podemos suponer que todos son estrictamente positivos.

Por hipótesis, $E$ cumple con la $x$-eje en dos intervalos disjuntos $(a,b) \times \{0\}$ e $(c,d) \times \{0\}$ con $a < b < c < d$. Supongamos que $d$ era finito. Si elegimos $a < x < b < y < c < z < d < w$, entonces hay abierto vertical intervalos de $I_x, I_z$ todo $(x,0)$ e $(z,0)$ respectivamente mentira en $E$, mientras que $(y,0)$ e $(w,0)$ no se encuentran en $E$.

Considerar la línea vertical a través de $(w,0)$. Este se reúne $E$ en dos intervalos, ninguno de los cuales contiene $(w,0)$. Así pues, existe un intervalo abierto $J_w = \{w\} \times (0,\varepsilon)$ que, o bien se encuentra completamente fuera de $E$, o completamente en el interior de $E$. Pero para $n$ lo suficientemente grande, podemos encontrar una línea que cumple con $I_x$, $(y,0)$, $I_z$, $J_w$, y $p_n$, en ese orden. Desde esta línea ha de satisfacer $E$ en dos intervalos, esto obliga a $J_w$ a estar completamente dentro de $E$.

Llegamos a la conclusión: si $d$ es finito, entonces para suficientemente grande $w$ existe $\varepsilon>0$ tal que $(w,0)$ se encuentra fuera de $E$ pero $\{w\} \times (0,\varepsilon)$ se encuentra en $E$.

Por supuesto, para $d$ infinito, tenemos $(w,0) \in E$ para todos lo suficientemente grande $w$.

Cambio de $E$ hacia arriba (la que mantiene a $y_n$ positiva y $y_n/x_n$ va a cero), llegamos a la conclusión de que para cualquier $t \leq 0$, o bien $(w,t) \in E$ para todos lo suficientemente grande $w$, o más de lo suficientemente grande $w$ (dependiendo $t$), existe $\varepsilon>0$ tal que $(w,t)$ se encuentra fuera de $E$ pero $\{w\} \times (t,t+\varepsilon)$ se encuentra en $E$.

Si la segunda opción es verdadera para al menos tres valores de $t \leq 0$, entonces llegamos a la conclusión de lo suficientemente grande $w$ que el indicador de $E$ sobre la línea vertical $\{w\} \times {\mathbf R}$ cambios de valor de por lo menos cinco veces, y por lo $E$ no cumple con esta línea en dos intervalos, una contradicción. Así, la primera opción debe mantener por lo menos un $t \leq 0$. En particular, ahora tenemos una secuencia $(x_n,y_n)$ de los puntos con $y_n = t < 0$ e $y_n/x_n \to 0$, de modo que por la reflexión de todos los resultados que hemos tenido para $E$ valen también para la reflexión de $E$ a través de la $x$ eje. En particular, si $d$ es finito, ahora es cierto que para suficientemente grande $w$, hay un intervalo de $K_w = \{w\} \times (-\varepsilon,\varepsilon)$ tal que $K_w$ cumple con $E$ en cada punto de $K_w$, excepto por el punto medio $(w,0)$.

Ahora por la intersección de $E$ con ${\mathbf R} \times \{1\}$ podemos encontrar $f < g$ tal que $(f,1) \in E$ e $(g,1) \not \in E$. El uso de la línea vertical $\{f\} \times {\mathbf R}$ podemos encontrar un intervalo vertical de $L_f$ todo $(f,1)$ que se encuentra en $E$. Pero entonces, uno puede encontrar arbitrariamente grande, $w_1 < w_2 < w_3$ juntos de tal manera que hay una línea que pasa a través de $L_f$, $(g,1)$, $K_{w_1}$, $(w_2,0)$, $K_{w_3}$ en ese orden, contradiciendo el hecho de que $E$ tiene que cumplir con esta línea en dos intervalos. (Para encontrar $w_1,w_2,w_3$, uno puede, por ejemplo, el uso de la diferenciación de Lebesgue teorema de ubicar arbitrariamente un gran real $w_0$ cuando la longitud de $K_w$ está delimitada desde abajo para el conjunto de $w$ de densidad asintótica $1$ cerca de $w_0$, a continuación, establezca $w_1,w_2,w_3$ a estar lo suficientemente cerca genérico de puntos cerca de $w_0$.) Llegamos a la conclusión de que $d$ debe ser infinito. La traducción de este hacia arriba y abajo, ahora a la conclusión de que $E$ se reúne cada línea horizontal en dos intervalos, uno de los cuales es la mitad de-infinito a la derecha.

Finalmente, uno tiene que demostrar que no todas las direcciones es un límite de dirección. Esta es una observación (ahora suprimido) de Robert Israel: si cada dirección fue un límite de dirección, entonces cada línea se encuentra con el complemento de E en un intervalo cerrado, por lo que el complemento de E es convexo. Pero por el de Hahn-Banach separación teorema podemos encontrar una línea que separa un punto de E a partir de su complemento, de modo que el Correo cumple con todos los de la línea en lugar de reunión es en dos intervalos, una contradicción. $\Box$

Uno puede decir que un poco más sobre el límite de las direcciones. Si $\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5$ se encuentran en un semicírculo en ese orden, uno no puede tener $\omega_1,\omega_3,\omega_5$ un límite de dirección y $\omega_2,\omega_4$ no, ya que en ese caso no sería rayos en las direcciones $\omega_3,\omega_5$ que estaban en $E$ y rayos en las direcciones $\omega_2,\omega_4$ que se encontraba fuera de la $E$, lo que contradice la proposición en la dirección $\omega_1$. Yo creo que esto significa que el conjunto de no-limit las direcciones consiste en la mayoría de los tres intervalos.

Answer 2

La respuesta a la pregunta es no.

En lugar de escribir una nueva respuesta, acabo de editar mi viejo (que contenía algunos parcial de progreso). Creo que esto está bien ya que la idea principal de la vieja respuesta (o al menos su principal "truco" -- la fijación de una línea especial, y luego girar ligeramente sobre un punto que no se en $E$) es todavía presente en este. La prueba de que estoy a punto de dar combina este truco con los resultados de Terry Tao de la respuesta.

Teorema: Existe ningún subconjunto del plano reunión de cada línea en dos intervalos.

Prueba: Supongamos $E$ es un conjunto.

Siguiendo la terminología de Terry Tao de la respuesta, vamos a decir que $\omega \in S^1$ es un límite de la dirección de $E$ si $E$ no evitar un infinito abrir el sector que contiene la dirección de la $\omega$ en el límite. Terry Tao demuestra:

Lema: No a cada dirección es un límite de dirección.

(En realidad, la prueba más, pero esto es todo lo que se necesita.)

En otras palabras, hay un infinito abrir el sector $S$ que falta a $E$. Traslación y rotación $E$ si es necesario, podemos suponer que la $S$ contiene el origen $O$ y la positiva $X$-eje. Considere la posibilidad de la expresión (usando coordenadas polares) $$(*) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{(r,\theta) : 0 < \theta < \phi, r \geq 0\} \cap E = \emptyset.$$

Claramente $\pi$ no satisface $(*)$ (de lo contrario $E$ no cumple con la línea de $y = 1$). Vamos $$\phi_0 = \inf \{\phi \in [0,\pi] : \phi \text{ does not satisfy }(*)\}.$$ (Desde $S$ está abierto, tendremos $0 < \phi_0 < \pi$, a pesar de que no realmente necesitan este hecho.) Deje $L$ ser la línea a través del origen en la dirección $\phi_0$.

$E$ está abierto (esta observación es también debido a Terry Tao; ver su primer comentario sobre Igor Rivin la respuesta). De ello se desprende que el rayo $\{(r,\phi_0) : r \geq 0\}$ no contiene puntos de $E$ (si no lo hizo, a continuación, un poco más pequeño valor de $\phi_0$ también fallará para satisfacer $(*)$). Por lo tanto, $E$ cumple con $L$ en dos intervalos abiertos que se encuentran ambos en el mismo lado del origen $O$.

Deje $U$ e $V$ ser estos dos intervalos, etiquetados de tal manera que $V$ entre $U$ e $O$. Fijar un punto de $x \in L \setminus E$ con $x$ estrictamente entre el $U$ e $V$. Para $\rho \in [0,\pi)$, vamos a $R_\rho^x$ el valor de la rotación del plano sobre el punto de $x$ por el ángulo de $\rho$. Fix $u \in U$ e $v \in V$.

Tenemos $u,v \in E$ e $O \in S$, con $E$ e $S$ ambos abiertos. Por la continuidad (en $\rho$) de $R^x_\rho$, hay algunos $\rho_0$ suficientemente pequeño como para que si $0 < \rho < \rho_0$ entonces $R_\rho^x(u), R_\rho^x(v) \in E$ e $R_\rho^x(O) \in S$. Podemos suponer $\rho_0 < \frac{\pi}{2}$.

Por el maximality de $\phi_0$, hay algunos $\varepsilon < \rho_0$ tal que $$\{(r,\phi_0+\varepsilon) : r \geq 0\} \cap E \neq \emptyset.$$ En otras palabras, podemos elegir un punto de $e \in E$ de manera tal que, si dejamos $p = (r,\phi_0)$ para algunos $r > 0$, el ángulo de $pOe$ es de menos de $\rho_0$. Desde el ángulo de $pOe$ es aguda (recall $\rho_0 < \frac{\pi}{2}$), y desde $x$ está en el otro lado de la $O$ de $p$, el ángulo de $pxe$ es incluso menor que el ángulo de $pOe$.

Deje $\rho$ ser la medida del ángulo $pxe$. La línea de $L' = R^x_\rho(L)$ no cumple $E$ en dos intervalos. Para ver esto, observe que $L'$ pasa a través de $E$ cerca de $u$, a través de $x$ (no en $E$), a través de $E$ nuevo cerca de $v$, a través de $S$ cerca de $O$ (no en $E$) y, a continuación, a través de $e$ (en $E$). QED

Answer 3

Es un resultado de Frantz

 \bib{MR1141290}{article}{
   author={Frantz, Marc},
   title={On Sierpi\'nski's nonmeasurable set},
   journal={Fund. Math.},
   volume={139},
   date={1991},
   number={1},
   pages={17--22},
   issn={0016-2736},
   review={\MR{1141290 (93a:28006)}},
}
 

Que tal conjunto (en realidad, Frantz permite intersecciones excepcionales, de modo que su resultado sea claramente "no vacío", por ejemplo, la unión de dos tiras infinitas abiertas está bien) es medible. Supongo que esto significa que tal conjunto no existe.