¿Existe un subconjunto del plano que se cruce con cada línea en dos intervalos abiertos?

Question

Usando el Axioma de Elección, es posible construir un subconjunto del plano que se intersecta con cada línea en dos puntos (estos se llaman conjuntos de "$2$ puntos"). ¿Qué pasa si, en lugar de puntos, pedimos dos intervalos abiertos?

Algunas ideas/construcciones relacionadas fueron exploradas en este documento (por ejemplo, se muestra que hay un subconjunto del plano que se intersecta con cada línea en una copia del conjunto de Cantor).

Si deseas un intervalo abierto en lugar de dos, entonces $\mathbb{R}^2$ es suficiente (y esta es la única solución). Si deseas tres intervalos abiertos, entonces simplemente toma el complemento de un conjunto de "$2$ puntos" (y esta idea se puede modificar para darte $n$ intervalos abiertos para cada $n > 2$). Infinitos intervalos abiertos son incluso más fáciles (toma la unión de los interiores de los hexágonos en este recubrimiento, por ejemplo). El caso de dos intervalos parece ser más obstinado.

ACTUALIZACIÓN: Esta pregunta ha sido respondida: no existe tal subconjunto del plano.

Terry Tao publicó un "progreso parcial" sobre el problema, que más tarde resultó ser la primera mitad de una demostración completa. La segunda mitad se puede encontrar en mi respuesta a continuación. Ninguna publicación por sí sola constituye una respuesta completa, pero ambas juntas hacen el trabajo.

No puedo aceptar ambas respuestas, así que he aceptado la de Terry, ya que fue la primera y resultó ser la primera mitad de una demostración correcta. Esto me parece estar en línea con lo que dice el centro de ayuda sobre lo que significa aceptar una respuesta.

Answer 1

Sea $E$ un conjunto de la forma reclamada. Llamamos dirección $\omega \in S^1$ una dirección límite de $E$ si existe una secuencia $p_n$ de puntos en $E$ que tienden a infinito cuyo argumento tiende a $\omega$, o equivalentemente si $E$ no evita un sector abierto infinito que contiene la dirección $\omega$ en el límite. Puedo demostrar lo siguiente:

Proposición. El conjunto de direcciones límite es un subconjunto cerrado y no vacío de $S^1$ que no es todo $S^1$. Además, si $\omega$ es una dirección límite, entonces cada recta paralela a $\omega$ se encuentra con $E$ en la unión de dos intervalos abiertos, uno de los cuales es medio infinito en la dirección $\omega$.

Esto no resuelve la pregunta aún, pero puede ser un progreso parcial útil hacia una solución completa. Una consecuencia de esta proposición es que si una línea se encuentra con $E$ con un intervalo medio infinito (más otro intervalo), entonces todas las líneas paralelas también lo hacen (ya que la dirección del intervalo medio infinito es claramente una dirección límite).

Prueba: Es claro que el conjunto de direcciones límite es cerrado. Dado que $E$ se encuentra con cada línea al menos una vez, es no acotado. Por lo tanto, hay una secuencia de puntos $p_n$ en $E$ que tienden a infinito. Por Bolzano-Weierstrass, esto muestra que hay al menos una dirección límite.

Supongamos que la dirección $(1,0)$ era una dirección límite, entonces tenemos una secuencia $p_n = (x_n,y_n)$ en $E$ donde $x_n \to +\infty$ y $y_n/x_n \to 0$. Por reflexión y pasando a una subsecuencia, podemos suponer que todos los $y_n$ son no negativos; al desplazar $E$ ligeramente hacia arriba, podemos suponer que son estrictamente positivos.

Por hipótesis, $E$ se encuentra con el eje $x$ en dos intervalos disjuntos $(a,b) \times \{0\}$ y $(c,d) \times \{0\}$ con $a < b < c < d$. Supongamos que $d$ era finito. Si elegimos $a < x < b < y < c < z < d < w$, entonces hay intervalos verticales abiertos $I_x, I_z$ alrededor de $(x,0)$ y $(z,0)$ respectivamente que yacen en $E, mientras que $(y,0)$ y $(w,0)$ no están en $E.

Considera la línea vertical a través de $(w,0)$. Esta se encuentra con E en dos intervalos abiertos, ninguno de los cuales contiene $(w,0)$. Por lo tanto, hay un intervalo abierto $J_w = \{w\} \times (0,\varepsilon)$ que yace completamente fuera de $E$ o completamente adentro de $E. Pero para un $n$ lo suficientemente grande, podemos encontrar una línea que se encuentre con $I_x, (y,0), I_z, J_w, y p_n$ en ese orden. Dado que esta línea tiene que encontrarse con $E$ en dos intervalos, esto obliga a que $J_w$ yace completamente dentro de $E$.

Concluimos: si $d$ es finito, entonces para $w$ suficientemente grande, existe $\varepsilon>0$ tal que $(w,0)$ yace afuera de $E$ pero $\{w\} \times (0,\varepsilon)$ está dentro de $E$.

Por supuesto, para $d$ infinito, tenemos $(w,0) \in E$ para todo $w$ suficientemente grande.

Desplazando $E$ hacia arriba (lo cual mantiene $y_n$ positivo y $y_n/x_n$ tendiendo a cero), concluimos que para cualquier $t \leq 0$, o bien $(w,t) \in E$ para todo $w$ suficientemente grande, o bien para $w$ suficientemente grande (dependiendo de $t$), existe un $\varepsilon>0$ tal que $(w,t)$ yace afuera de $E$ pero $\{w\} \times (t,t+\varepsilon)$ está dentro de $E$.

Si la segunda opción es verdadera para al menos tres valores de $t \leq 0$, entonces concluimos que para $w$ suficientemente grande, el indicador de $E$ en la línea vertical $\{w\} \times {\mathbf R}$ cambia de valor al menos cinco veces, y por lo tanto, $E$ no se encuentra con esta línea en dos intervalos, una contradicción. Por lo tanto, la primera opción debe ser verdadera para al menos un $t \leq 0$. En particular, ahora tenemos una secuencia $(x_n,y_n)$ de puntos con $y_n = t < 0$ y $y_n/x_n \to 0$, por lo que por reflexión, todos los resultados que teníamos para $E$ también son válidos para la reflexión de $E$ a través del eje $x$. En particular, si $d$ es finito, ahora es cierto que para $w$ suficientemente grande, existe un intervalo $K_w = \{w\} \times (-\varepsilon,\varepsilon)$ tal que $K_w$ se encuentra con $E$ en cada punto de $K_w$ excepto por el punto medio $(w,0).

Ahora, al intersectar $E$ con ${\mathbf R} \times \{1\}$, podemos encontrar $f < g$ tal que $(f,1) \in E$ y $(g,1) \not \in E$. Usando la línea vertical $\{f\} \times {\mathbf R}$, podemos encontrar un intervalo vertical $L_f$ alrededor de $(f,1)$ que yace en $E$. Pero entonces podemos encontrar arbitrariamente grandes $w_1 < w_2 < w_3$ cercanos entre sí de manera que haya una línea que pase por $L_f, (g,1), K_{w_1}, (w_2,0), K_{w_3}$ en ese orden, contradiciendo el hecho de que $E$ tiene que encontrarse con esta línea en dos intervalos. (Para encontrar $w_1,w_2,w_3$, uno puede usar el teorema de diferenciación de Lebesgue para ubicar un número real arbitrariamente grande $w_0$ donde la longitud de $K_w$ está acotada por debajo para un conjunto de $w$ de densidad asintótica 1 cerca de $w_0$, luego elegir $w_1,w_2,w_3$ para ser puntos genéricos lo suficientemente cercanos a $w_0). Concluimos que $d$ debe ser infinito. Al trasladar esto hacia arriba y hacia abajo, concluimos que $E$ se encuentra con cada línea horizontal en dos intervalos, uno de los cuales es medio-infinito hacia la derecha.

Finalmente, hay que mostrar que no todas las direcciones son direcciones límite. Esto es una observación (ahora eliminada) de Robert Israel: si cada dirección fuera una dirección límite, entonces cada línea se encontraría con el complemento de E en un intervalo cerrado, por lo que el complemento de E sería convexo. Pero por el teorema de separación de Hahn-Banach, podemos encontrar entonces una línea que separa un punto de E de su complemento, por lo que E se encontraría en toda esa línea en lugar de encontrarse en dos intervalos, una contradicción. $\Box$

Se puede decir un poco más sobre las direcciones límite. Si $\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5$ yacen en una semicircunferencia en ese orden, entonces no puede haber $\omega_1,\omega_3,\omega_5$ como direcciones límite y $\omega_2,\omega_4$ no, ya que en ese caso habría rayos en las direcciones $\omega_3, \omega_5$ que estaban en $E$ y rayos en las direcciones $\omega_2, \omega_4$ que estaban afuera de $E$, lo cual contradice la proposición en la dirección $\omega_1$. Creo que esto significa que el conjunto de direcciones no límite consiste en a lo sumo tres intervalos abiertos.

Answer 2

La respuesta a la pregunta es no.

En lugar de escribir una nueva respuesta, simplemente edité la antigua (que contenía algún progreso parcial). Creo que está bien ya que la idea principal de la respuesta antigua (o al menos su principal "truco" - arreglar una línea especial y luego rotarla ligeramente alrededor de un punto que no está en $E$) todavía está presente en esta. La prueba que estoy a punto de dar combina este truco con los resultados de la respuesta de Terry Tao.

Teorema: No hay un subconjunto del plano que intersecte todas las líneas en dos intervalos abiertos.

Prueba: Supongamos que $E$ es un conjunto así.

Siguiendo la terminología en la respuesta de Terry Tao, diremos que $\omega \in S^1$ es una dirección límite de $E$ si $E$ no evita un sector abierto infinito que contiene la dirección $\omega$ en el límite. Terry Tao prueba:

Lema: No todas las direcciones son direcciones límite.

(De hecho, él prueba más, pero esto es todo lo que necesitaremos.)

En otras palabras, hay un sector abierto infinito $S$ que no encuentra a $E$. Trasladando y rotando $E$ si es necesario, podemos asumir que $S$ contiene el origen $O$ y el eje $X$ positivo. Considera la expresión (usando coordenadas polares) $$(*) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{(r,\theta) : 0 < \theta < \phi, r \geq 0\} \cap E = \emptyset.$$

Claramente $\pi$ no satisface $(*)$ (de lo contrario, $E$ no se encuentra con la línea $y = 1$). Sea $$\phi_0 = \inf \{\phi \in [0,\pi] : \phi \text{ no satisface }(*)\}.$$ (Como $S$ es abierto, tendremos $0 < \phi_0 < \pi$, aunque en realidad no necesitaremos este hecho). Sea $L$ la línea que pasa por el origen en la dirección $\phi_0$.

$E$ es abierto (esta observación también es de Terry Tao; ver su primer comentario en la respuesta de Igor Rivin). Se sigue que el rayo $\{(r,\phi_0) : r \geq 0\}$ no contiene puntos de $E$ (si lo hiciera, entonces un valor ligeramente menor de $\phi_0$ también fallaría en satisfacer $(*)$). Por lo tanto, $E$ se encuentra con $L$ en dos intervalos abiertos que están ambos en el mismo lado del origen $O$.

Sean $U$ y $V$ estos dos intervalos abiertos, etiquetados de tal manera que $V$ está entre $U$ y $O$. Fija un punto $x \in L \setminus E$ con $x$ estrictamente entre $U$ y $V$. Para $\rho \in [0,\pi)$, sea $R_\rho^x$ la rotación del plano alrededor del punto $x$ por el ángulo $\rho$. Fija $u \in U$ y $v \in V$.

Tenemos $u,v \in E$ y $O \in S$, con $E$ y $S$ ambos abiertos. Por la continuidad (en $\rho$) de $R^x_\rho$, hay algún $\rho_0$ suficientemente pequeño tal que si $0 < \rho < \rho_0$ entonces $R_\rho^x(u), R_\rho^x(v) \in E$ y $R_\rho^x(O) \in S$. Podemos asumir $\rho_0 < \frac{\pi}{2}$.

Por la maximalidad de $\phi_0$, hay algún $\varepsilon < \rho_0$ tal que $$\{(r,\phi_0+\varepsilon) : r \geq 0\} \cap E \neq \emptyset.$$ En otras palabras, podemos elegir un punto $e \in E$ tal que, si dejamos $p = (r,\phi_0)$ para algún $r > 0$, el ángulo $pOe$ es menor que $\rho_0$. Dado que el ángulo $pOe$ es agudo (recuerda $\rho_0 < \frac{\pi}{2}$), y dado que $x$ está en el otro lado de $O$ desde $p$, el ángulo $pxe$ es aún más pequeño que el ángulo $pOe.

Sea $\rho$ la medida del ángulo $pxe$. La línea $L' = R^x_\rho(L)$ no se encuentra con $E$ en dos intervalos abiertos. Para ver esto, observa que $L'$ pasa por $E$ cerca de $u$, por $x$ (que no está en $E$), por $E$ nuevamente cerca de $v$, por $S$ cerca de $O$ (que no está en $E$), y luego por $e$ (en $E$). QED

Answer 3

Es un resultado de Frantz

\bib{MR1141290}{artículo}{
   autor={Frantz, Marc},
   título={Sobre el conjunto no medible de Sierpiński},
   revista={Fund. Math.},
   volumen={139},
   fecha={1991},
   número={1},
   páginas={17--22},
   issn={0016-2736},
   revisión={\MR{1141290 (93a:28006)}},
}

Que tal conjunto (de hecho, Frantz permite intersecciones excepcionales, por lo que su resultado es claramente "no vacío", por ejemplo la unión de dos tiras infinitas abiertas es aceptable) sea medible. Supondría que esto significa que tal conjunto no existe.