¿Por qué no podemos tomar tres bucles?

Question

Disculpas por el título vago y la pregunta blanda. Según Etingof, Igor Frenkel una vez sugirió que hay tres "niveles" en la teoría de Lie, que supongo que podrían recibir los siguientes nombres:

• No hay bucles: aquí estudiamos un álgebra de Lie simple $\mathfrak{g}$ un grupo de Weyl, un grupo de trenzas o un álgebra de Hecke, todos los cuales tienen algo que ver con un grupo de Lie $G$ .
• Un bucle: aquí estudiamos un álgebra de Lie afín $\widehat{\mathfrak{g}}$ un grupo cuántico $U_q(\mathfrak{g})$ un grupo afín de Weyl, un grupo afín de trenzas, o un álgebra afín de Hecke, todos los cuales creo que tienen algo que ver con el grupo de bucles $LG$ de $G$ .
• Dos bucles: aquí estudiamos una doble álgebra de Lie afín $\widehat{\widehat{\mathfrak{g}}}$ un grupo cuántico afín $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ un grupo cuántico elíptico ( lo que sea que eso signifique ), un grupo doble afín o elíptico de Weyl, un grupo doble afín o elíptico de trenzas, o un álgebra doble afín o elíptica de Hecke, todos los cuales creo que tienen algo que ver con el grupo doble de bucles de $G$ o, más exactamente, el espacio de mapas de algún tipo de una curva elíptica $E$ a $G$ .

La sugerencia es además que este patrón no continúe.

¿Por qué no continúa este patrón?

Pregunté y obtuve una respuesta que interpreté de la siguiente manera. La tricotomía anterior se puede emparejar con la tricotomía grupo aditivo $\mathbb{C}$ grupo multiplicativo $\mathbb{C}^{\times}$ curva elíptica $E$ . Aquí hay una historia sobre el partido como yo lo entiendo, que no está muy bien.

• Los grupos algebraicos unidimensionales dan lugar a teorías de cohomología equivariante. Las teorías anteriores dan lugar a la cohomología equivariante, a la teoría K equivariante y a la cohomología elíptica equivariante, respectivamente.
• Más o menos, $\text{Spec } H^{\bullet}_G(\text{pt}) \cong \mathfrak{g}/G \cong \text{Bun}_G(\mathbb{C})$ , mientras que $\text{Spec } K^{\bullet}_G(\text{pt}) \cong G/G \cong \text{Bun}_G(\mathbb{C}^{\times})$ y $\text{Spec } E^{\bullet}_G(\text{pt}) \cong \text{Bun}_G(E)$ , donde por $E^{\bullet}_G$ Me refiero a la teoría de cohomología elíptica equivariante asociada a la curva elíptica $E$ .
• Hay algo de yoga en la teoría de la representación geométrica con la que no estoy muy familiarizado y que implica la construcción de álgebras interesantes como las álgebras de grupos de Weyl y las álgebras de Hecke mediante el cálculo de la (co)homología equivariante o la K-(co)homología equivariante de algunas variedades de interés, que tiene algo que ver con la construcción de las álgebras de Hecke afines y dobles afines mencionadas anteriormente.

Dado que nos hemos quedado sin grupos algebraicos unidimensionales, eso sería una razón para creer que el patrón no continúa. Pero, sin embargo, no tengo una buena idea de lo que, si es que hay algo, nos impide estudiar y decir cosas interesantes sobre "álgebras de Lie triplemente afines", "grupos de Weyl triplemente afines", "álgebras de Hecke triplemente afines", etc., al menos en la medida en que el grupo de lazo triple de un grupo parece perfectamente bien definido. En cuanto a la geometría, parece que no hay nada que nos impida estudiar $G$ -en variedades de mayor dimensión. Desde el punto de vista cohomológico, la cohomología, la teoría K y la cohomología elíptica deberían ser, siendo optimistas, los tres primeros términos de una secuencia completa de teorías de cohomología en niveles cromáticos superiores, o desde la perspectiva del programa de Stolz-Teichner, definidos en términos de teorías de campo de dimensión superior...

Answer 1

Para profundizar en la excelente respuesta de Kevin, se puede explicar la ausencia actual de teoría de la representación de "bucles superiores" utilizando la física. En concreto, todas las estructuras de la teoría de la representación que mencionas encajan de forma muy natural en el estudio de la teoría gauge, específicamente en la de 4 dimensiones $\mathcal N=2$ teorías gauge. Estas vienen en dos clases principales (con alguna intersección) - las teorías gauge del quiver, que son los hogares naturales para álgebras como las Yangianas, álgebras cuánticas de lazo, y grupos cuánticos elípticos; y las teorías de la clase S (reducciones de la "teoría" 6d $\mathfrak X$ " - la teoría de campo superconforme (2,0) etiquetada por un diagrama de Dynikin - sobre superficies de Riemann), que son el hogar natural de las Langlands geométricas, las álgebras de Hecke doblemente afines, la homología de Khovanov, etc. (la teoría que Kevin describe asociada a $U_q(\mathfrak g)$ es $\mathcal N=4$ super Yang Mills, que es el caso cuando la superficie de Riemann es el dos-toro).

Entonces, ¿por qué debería ser esto relevante? la cuestión de adjuntar una teoría de representación interesante a los mapas en grupos de Lie está muy vinculada a la cuestión de encontrar teorías gauge interesantes en dimensiones superiores (esta última es estrictamente más fuerte, pero parece el marco más natural que tenemos para tales cuestiones). En concreto, queremos teorías gauge supersimétricas, si queremos que tengan alguna relación con la teoría topológica de campos o la geometría algebraica, etc.

Sin embargo, no hay teoremas para encontrar teorías gauge en dimensiones superiores. Incluso a nivel clásico es imposible (gracias a la teoría de Lie, es decir, a la estructura de las representaciones de espín) tener una teoría gauge supersimétrica en más de 10 dimensiones ---- cualquier teoría SUSY en dimensiones superiores a diez también incluye campos de espín dos y superiores (por lo que físicamente es una teoría de la gravedad), mientras que por encima de la dimensión 11 tenemos que tener campos de espín superior todavía (lo que los físicos nos dicen que no tiene sentido - de todos modos no será una teoría gauge). En cualquier caso, las teorías con gravedad y otras cosas están muy lejos de ser llamadas teorías de representación.

A nivel cuántico (que es lo que necesitamos para la teoría de la representación) es mucho más difícil todavía -- creo que no hay teorías gauge cuánticas completas UV por encima de la dimensión 4 (en otras palabras, las teorías de dimensión más alta tienen que tener "otras cosas no perturbadoras en ellas"). Todas las estructuras de la teoría de la representación que mencionas encajan de forma natural en teorías que provienen de seis dimensiones en el mejor de los casos (reducidas a 4 dimensiones a lo largo de un plano, un cilindro o un toro en el caso de la teoría gauge del carcaj para ver los yangianos, las álgebras cuánticas afines y los grupos cuánticos elípticos, o a lo largo de una superficie de Riemann en el caso de la clase S). Estudiando en particular la teoría $\mathfrak X$ en varias reducciones da una enorme cantidad de estructura, e incluye cosas como ``tres álgebras afines de Hecke'' presumiblemente cuando se reducen en un tres-toro, pero hay un claro límite superior a la complejidad que obtendrá de estas consideraciones.

La única fuente interesante de la que he oído hablar para las teorías de campo topológicas de mayor dimensión es (como usted insinúa) la teoría de homotopía cromática, en particular el fascinante trabajo de Hopkins y Lurie sobre la ambidexteridad en el $K(n)$ -categoría local. Este es un lugar natural para buscar la "teoría de la representación superior", que creo que se toca en las conferencias de Lurie - pero mi impresión ingenua es que estas teorías tendrán un sabor muy diferente a la teoría de la representación a la que te refieres (en particular, un primo fijo estará involucrado, y estas teorías ciertamente no se sienten como la teoría de campo cuántica tradicional). Pero es una dirección futura fascinante. Como pista del tipo de teoría de la representación a la que esto conduce, tenemos el teorema de Hopkins-Kuhn-Ravenel que describe la $n$ -La teoría K de Morava de BG en términos de n-tuplas de elementos conmutados en G --- es decir, el tipo de caracteres que se puede esperar para las acciones de G en $(n-1)$ -categorías.

Answer 2

Esta es una forma de verlo.

Básicamente lo que ocurre aquí es una $3{+}\epsilon$ -TQFT de dimensiones, que corresponde a una categoría de 3 con el tipo de dualidad adecuado.

$Rep(U_q(\mathfrak g))$ es una categoría 3 de este tipo. Este es su primer nivel. También podríamos introducir un álgebra de Hecke de tipo A (con lo que realmente me refiero a la terminación HOMFYPT de la misma) o el álgebra de BMW, que también pueden considerarse como 3-categorías.

Si emparejamos nuestra categoría 3 con un círculo, obtenemos una categoría 2. En el caso del álgebra de Hecke esto está estrechamente relacionado con el álgebra afín de Hecke.

Si emparejamos nuestra categoría 3 con un toro, obtenemos una categoría 1. En el caso del álgebra de Hecke, esto está estrechamente relacionado con el álgebra doble afín de Hecke.

Podemos ir un paso más allá y emparejar la 3-categoría con un 3-manifold cerrado, dando lugar a una 0-categoría, es decir, un espacio vectorial.

Si tomamos $q=1$ entonces $Rep(U_q(\mathfrak g)) = Rep(U(\mathfrak g))$ es una categoría monoidal simétrica. Ahora estamos en el rango estable. Podemos emparejar $Rep(U(\mathfrak g))$ con un colector de cualquier dimensión y obtener otra categoría simétrica monoidal. Así que en la $q=1$ caso no hay ningún problema en hacer un $n$ -construcción afín a los pares. Sólo hay que emparejar $Rep(U(\mathfrak g))$ con el $n$ -toro $T^n$ .

¿Referencias de lo anterior? Están mis apuntes de TQFT de 2005, que hablan de la teoría general pero no de los ejemplos específicos que menciono arriba. Hay un trabajo en curso con Monica Vazirani, que habla del nivel afín anterior con gran detalle. David Ben-Zvi, Adrien Brochier y David Jordan tienen una visión diferente de estas ideas, y creo que tienen preimpresos disponibles en alguna parte. Quizá alguno de ellos pueda aportar otra respuesta.