¿El Pfaffian tiene un significado geométrico?

Question

Mientras que la revisión de la prueba de Gauss-Bonnet, en John Lee el libro, me di cuenta de que el siguiente párrafo:

" ...En cierto sentido, esto puede considerarse como muy satisfactorio generalización de Gauss-Bonnet. El único problema con este resultado es que la relación entre el Pfaffian y seccionales de la curvatura es oscuro en las dimensiones superiores, por lo que nadie parece tener alguna idea de cómo interpretar geométricamente el teorema! Por ejemplo, aun no se sabe si la suposición de que $M$ ha estrictamente positivo curvaturas seccionales implica que $\chi(M)>0$.... (página 170) "

¿Puedo preguntarle si esta "interpretación problema" ha sido resuelto? Me sentí de la misma manera cuando leí Milnor de la prueba de Chern-Gauss-Bonnet uso de las clases de Chern, y Chern de la declaración en su propio libro a través de Lipschitz-la Matanza de curvatura. Ni tiene un sentido geométrico que se "auto-transparente" para mí. Cuando tuve una clase en el índice teorema, nuestra prueba, básicamente, mostró Gauss-Bonnet es un caso especial de Atiyah-Singer en un operador de Dirac. Y no recuerdo que se trataba de mucho de la geometría, pero en lugar de una gran cantidad de manipulaciones algebraicas.

Chern propuso la siguiente manera para mirar en su libro: Considerar el exterior $2n$-forma $$ \Omega=(-1)^{n}\frac{1}{2^{2n}\pi^{n}n!}\delta^{i_1 \cdots i_{2n}}_{1\cdots 2n}\Omega_{i_1i_2}\cdots \Omega_{i_{2n-1}i_{2n}}, \Omega=K d\sigma $$ A continuación, la "clave" para demostrar que Chern-Gauss-Bonnet es representar a $\Omega$ sobre la esfera paquete de $M$, de modo que uno ha $\Omega=d\prod$ donde $\prod$ es $2n-1$-forma. Sin embargo, yo todavía no sé cómo este arrojan ninguna luz sobre el pintoresco lado de la ecuación, de modo que yo pueda visualizarlo. Así que me decidí a preguntar. Supongo que esto podría ser uno de esos temas bien conocidos por los expertos, pero no escritas en el nivel de introducción de los libros de texto.

Referencia:

Juan M. Lee: de Riemann Colectores, página 170

Chern: Conferencias sobre la Geometría Diferencial, la página 171

Milnor & Stasheff: Característica de las Clases, el apéndice?

Para una definición de Pfaffian, ver aquí en la wikipedia.

Answer 1

La cosa que le falta es una mayor geométrica de la propiedad de la $(2n{-}1)$forma $\Pi$ que Chern construcciones en el ámbito de la unidad de paquete de $\mathsf{S}(M)$ de las orientadas $2n$-colector $M$: El hecho de que el retroceso de $\Pi$ a cualquier unidad de la esfera de $\mathsf{S}_x(M)\subset T_xM$ es simplemente la inducida por la forma de volumen de $\mathsf{S}_x(M)$.

Una vez que se establece este, Chern la prueba de Gauss-Bonnet teorema es sencillo: Elige un campo de vectores $X$ a $M$ que se ha aislado ceros $z_1,\ldots, z_k\in M$, y vamos a $$U = \frac{X}{|X|}:M\setminus\{z_1,\ldots,z_k\}\to \mathsf{S}(M)$$ be the corresponding unit vector field, defined and smooth away from the $z_i$. Let $\epsilon>0$ be sufficiently small that the geodesic $\epsilon$-balls $B_\epsilon(z_i)$ around the $z_i$ are disjoint and smoothly embedded. On the manifold with boundary $M_\epsilon\subconjunto M$ that consists of $M$ with these $\epsilon$-balls removed, consider the section $U:M_\epsilon\a \mathsf{S}(M)$. By construction/definition, $U^*\Omega = U^*(\mathrm{d}\Pi)$ is the Gauss-Bonnet integrand over $M_\epsilon$. Por Stokes Teorema, $$ \int_{M_{\epsilon}}U^*\Omega = \sum_{i=1}^k \int_{\partial B_\epsilon(p_i)} U^*\Pi. $$ Ahora vamos a $\epsilon$ ir a cero. La mano izquierda converge a la de Gauss-Bonnet integrando sobre todos los de $M$, mientras que el $i$-th sumando en el lado de la derecha converge con el índice de $X$ a $z_i$. (Esto es debido a que $U^*\Pi$ a $\partial B_\epsilon(z_i)$ difiere en un plazo de fuga con $\epsilon$ a partir de la retirada de la unidad de volumen en forma de $\mathsf{S}_{z_i}(M)$ a $\partial B_\epsilon(z_i)\simeq \mathsf{S}_{z_i}(M)$ bajo el indicial de asignación inducida por $U$ a $z_i$, cuyo grado es, por definición, el índice de $X$ a $z_i$.) Por lo tanto, pasar el límite y el uso de la Poincaré-Hopf teorema (que la suma de los índices de los vectores de campo $X$ es igual a $\chi(M)$), se obtiene Chern la prueba de Gauss-Bonnet Teorema.

En cuanto a por qué $\Pi$ tira hacia atrás a cada una de las $\mathsf{S}_{z_i}(M)$ a ser la unidad de volumen formulario, usted necesita mirar Chern la definición de $\Pi$, que utiliza el Pfaffian, en particular de sus propiedades algebraicas. Este sale de la computación que Chern hace, y es esencialmente una forma geométrica hecho, pero lo que equivale a una fórmula explícita para la transgresión operador definido en Chern-Weil teoría de Euler de la clase. Otra manera de verlo sería mirar la generalización de Gauss-Bonnet fórmula, una discusión que puede encontrar en el MO pregunta Una pregunta sobre Generalizada de Gauss-Bonnet Teorema.