Análisis complejo es la buena gemelas y el análisis real del maligno: hermosa fórmulas y elegante teoremas parecen florecer espontáneamente en el complejo de dominio, mientras que la fatiga y la patología de la regla de los reales. ~ Charles Pugh
A menudo la gente le gusta hablar de elegante "milagros" en el Análisis Complejo. Sin embargo, lo que son "patológico" objetos/propiedades en el Análisis Complejo?
EDITAR (09/13/18): También publicado como https://math.stackexchange.com/questions/2912320/most-pathological-object-in-complex-analysis
EDIT: se ha Cambiado la redacción de la pregunta.
Respuestas
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dmnc
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119
Yo diría que el conjunto de Mandelbrot (como objetos fractales similares que provienen de dinámicas complejas) puede verse como un objeto "patológico", al menos desde el punto de vista de la regularidad (el límite no es diferenciable, por ejemplo).
sdfwer
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13
No sé cómo quieres definir "patológico", pero algunos de los corolarios del teorema de Runge te dan funciones con propiedades interesantes. Una de las mías: existe una función racional$f$ tal que para cada función holomórfica$g$ en el disco de la unidad abierta$\mathbb D$,$g$ o$g-f$ tiene un cero en$\mathbb D$. Este es el problema 6520 de American Mathematical Monthly, solución en www.jstor.org/stable/2323638
dar
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259
Un límite natural es probablemente patológico, en el mismo espíritu que continua-en todas partes-pero-diferenciable-en ninguna parte y suave-en todas partes-pero-analítica-en ninguna parte son funciones de análisis real. En particular, se trata de una función que tiene una propiedad (analítica) que uno podría esperar intuitivamente daría lugar a otro (continuación analítica, al menos en cierta medida), pero no.
Un simple ejemplo es la serie de la función:
$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^{2^n}$$
Esta función está definida en $|z| < 1$, pero el círculo de $|z| = 1$ es singular, y la serie, por lo tanto, converge en la máxima de dominio y prohíbe cualquier extensión más allá de ella. La segunda curva es, pues, un límite natural - un cerramiento de muro de fábrica de la singularidad que evita que cualquier extensión de la función del dominio de un área de trivial medida.
eriko
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140
En un viejo MO cuestión de la mía, me había preguntado lo siguiente (estoy citando a mi pregunta):
Deje que D ⊂ ℂ ser el cerrado de la unidad de disco en el plano complejo, y dejar que C sea una continua incrustado ruta en D entre los puntos -1 y 1. La curva C, D divide en dos mitades $D_1$ e $D_2$.
Deje que f : D→ℂ ser una función continua que es holomorphic en el interior de $D_1$ e $D_2$.
Es f entonces necesariamente holomorphic?
La respuesta vuelve a ser no.
James
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11
Yo diría que multivariable complejo el análisis es más complicado con relación a una sola variable compleja análisis de multivariables análisis real es la única variable de análisis real. Hay nuevos fenómenos que podrían caritativamente ser llamados "ricos", y uncharitably ser llamado 'patológico.'
Por ejemplo, es bien sabido que no hay ninguna que no sea constante holomorphic funciones en 1D compacto complejos colectores, pero siempre hay un no-constante de meromorphic funciones. En las dimensiones superiores no son compactos, complejos colectores sin ningún no-constante de meromorphic funciones.
Otra cosa es relativa a la The_Sympathizer la respuesta: Cualquier conjunto abierto en $\mathbb{C}$ puede ser el 'dominio de holomorphicity' de un holomorphic función, es decir, un dominio que más allá de que la función no puede ser analíticamente extendida. En las dimensiones superiores esto no es cierto y la caracterización de los bloques abiertos que son los dominios de holomorphicity se convierte en algo complicado.
