¿Por qué son útiles las operadas?

Question

La pregunta no es acerca de donde operads se utilizan, lo sé. Es lo que los hace útiles. Por ejemplo, van Kampen diagramas son útiles en la combinatoria del grupo de teoría, porque estos son los grafos planares y así uno puede utilizar la geometría plana (es decir, el Jordan lema) para investigar el problema de palabras en grupos complicados. Del mismo modo, conos asintóticos son útiles en geometría teoría de grupo debido a que permiten a estudio a gran escala de las propiedades de un objeto independiente (un grupo) mirando en pequeña escala, las propiedades de un continuo objeto. Me gustaría saber una respuesta similar para operads.

Actualización Muchas gracias a todos por sus respuestas. Por desgracia, yo sólo puede aceptar una. Así que acabo de aceptar la primera respuesta.

Answer 1

Aquí hay un par de 2-3 líneas respuestas a tu pregunta:

1) Que permiten el tratamiento de diversas algebraica de problemas de manera uniforme. Por ejemplo, Conmutativa, Asociativa y álgebras de Lie, todos tienen su propia cohomology teorías (Harrison, Hochschild, y Chevalley-Eilenberg, respectivamente). Todos estos pueden ser vistos como instancias de una sola operad cohomology.

2) se pueden utilizar operads para la construcción de cohomology de clases para la Asignación del grupo de Clase y a la Salida(Fn) (y otros). La idea es utilizar los gráficos de "color" por operads, y la construcción de una cadena compleja de estos colores los gráficos que calcula el deseado cohomology.

y tal vez el más clásico respuesta:

3) Que permiten clasificar bucle de espacios y bucle infinito de los espacios. Para la conexión de los espacios, estos son clasificados como álgebras a través de varias operads.

Answer 2

Operads entran en juego cuando usted está tratando con una familia de objetos que tienen coherente de las operaciones. Una manera inexacta para conseguirlo todo, pero que hace bastante cerca del espíritu sería pensar en cosas como calcular el número de maneras de particionamiento $10^{100}$ a $60$ subconjuntos, frente a la generación de la función para las particiones. Tal vez la generación de función no ayuda a calcular esta una instancia del problema de partición, pero sí informar sobre algunos aspectos generales de la partición del problema, tales como asymptotics.

Para hacer la analogía más completa, operads son relevantes cuando usted está tratando con cosas como:

• Un álgebra universal. Este es, en cierto sentido, el original operad idea -- operads fueron diseñados para ser una categoría independiente de la noción de álgebra universal.

• Siempre que tienen las familias de los espacios que tienen las familias de las formas en que pueden ser combinadas. Topológico operads fueron diseñados para codificar este tipo de información. El hormigón primera instancia de este era el de los cubos de operad, que actúa sobre la iteración de bucle espacios. Cubos de operads tienen el beneficio añadido de que pueden ser utilizados para deducir que los espacios se iteración del bucle de espacios.

En ese sentido operads no suelen ser utilizados completamente sondear las profundidades de un objeto en particular. Ellos tienden a ser utilizados para extraer información coherente sobre una familia de objetos (a menos que, por supuesto, su objeto es en sí mismo una "familia de objetos").

Creo que en el grupo de teoría de la forma en que este tipo de cosas viene sería cuando usted toma la clasificación de los espacios. Por ejemplo, pura trenza de grupos. Hay varios mapas de $P_n \times P_k \to P_{n+k-1}$ dado por la "voladura" de uno de los capítulos de la $n$cadena de la trenza y la inserción de la $k$cadena de la trenza en su lugar. Cuando usted toma la clasificación de los espacios, estos son la estructura de los mapas para el operad de $2$-cubos. Supongo que es subjetivo, pero la homología y la cohomology de la pureza de la trenza de los grupos tienen una mucho más agradable de la exposición en este operadic marco-y es bastante similar a la primera generación de la función de la analogía-que dice en el idioma de grupo explícito de los ciclos y cocycles.

Así que supongo que mi punto podría ser formulada como operads no hacer nada, en algunos computacional sentido. Se acaba de celebrar la información de una forma más agradable. Es más afín a un tipo de datos de un algoritmo para realizar una tarea.

Answer 3

Me encuentro dos diferentes puntos de vista de utilidad.

1. Además de Steve primera respuesta, yo diría que operads poner muchas estructuras algebraicas en uno compacto y útil meta-algebraica de configuración. Mentira, asociativa, conmutativa, Poisson, Gerstenhaber, etc. Todo esto encaja en un bonito marco que nos dice cómo definir cohomology teorías y estudio de la deformación de la teoría en cada configuración. Este universal, el programa de instalación también nos dice cómo el estudio de los generadores y relaciones, álgebra homológica, la dualidad de la teoría, y así sucesivamente. Operads, algo así como una categoría de la teoría, permiten ver la estructura común detrás de muchos a priori mundos diferentes.

2. Mi otro punto de vista es que operads, junto con sus hermanos, el cíclico y modular operads, son todos acerca del estudio de las estructuras que la cola/componer a lo largo de los árboles o grafos. Manifestaciones de este tipo de composición aparecen en topológico de la teoría de campo, bucle infinito espacio de la teoría, de baja dimensionalidad de la topología, y todo tipo de otros lugares.

Answer 4

Una razón por la que operads son utilizados en la obstrucción de la teoría. Supongamos que tenemos un CW-complejo de $X$ con punto de base y la multiplicación $\mu:X \times X \to X$ que es asociativa y unital hasta homotopy, y queremos saber si $X$ es homotopy equivalente a un topológico monoid $X'$ por un mapa que, hasta homotopy, respeta la multiplicación. Esta es una pregunta acerca de homotopy teoría, pero la construcción de una estrictamente asociativa de la multiplicación no es susceptible de métodos de homotopy teoría.

Esta es una pregunta acerca de la asociativo operad, pero podemos sustituirlo por una pregunta acerca de un equivalente operad tales como la recolección de Stasheff associahedra. Esto tiene una simple presentación, como un operad, en términos de generadores y relaciones, y así es más fácil de clasificar las acciones en un objeto. Esto proporciona una secuencia de obstrucciones en $\pi_k Map(X^{k+3}, X)$ a la búsqueda de un objeto (y las opciones son igualmente parametrizada).

Por supuesto, como con muchas cosas en la topología algebraica, en general este método funciona mucho mejor para mostrar algo que no admite una multiplicación, o cuando las obstrucciones se producen en cero los grupos. Sin embargo, es difícil para atacar estos problemas fuera de las circunstancias, sin el uso de operads. (Tal vez alguien sabe de los métodos que no implícitamente el uso de operads; yo no.)

No estoy completa claridad sobre lo que constituye la diferencia entre el "dónde" y "por qué" en su declaración, pero espero que esto califica.

Answer 5

Hay ciertamente muchas respuestas a esta pregunta... Para mí, una de las principales razones es que hay un montón de situaciones donde existentes geométricas y algebraicas estructuras presentan algún tipo de asociatividad. (Geométricamente, pensar en el encolado de los pantalones, como en el de Jeff comentario, algebraicamente pensar en componer las operaciones y/o cooperación.) La noción de un operad permite la formalización de esta observación, y tratar como objetos que como álgebras asociativas en una determinada categoría monoidal, y ya sabemos que un montón de maneras de enfoque habitual álgebras asociativas, esto le da a la intuición de cómo abordar los problemas de estos, el más complicado de los objetos. Creo que la analogía con sus ejemplos es bastante clara.