El error en la prueba de Petrovski y Landis del problema 16 de Hilbert

Question

¿Cuál fue el principal error en la prueba de la segunda parte de la 16 de Hilbert problema por nombre de petrovski y Landis?

Por favor vea el post y también el siguiente post.. Desarrollo Matemático en torno a este problema histórico por favor consulte este documento.

Añadido : Según su método, ¿cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?:

Hay números de uniforme $\tilde{H}(n)$ de manera tal que cada polinomio campo de vectores $X$ grado $n$ satisface:

Declaración 1) Existen en la mayoría de las $\tilde{H}(n)$ real de ciclos límite de $X$ que se encuentran en la misma hoja.

declaración 2) Existen en la mayoría de las $\tilde{H}(n)$ complejo distinto de hojas que contiene verdaderos ciclos límite.

Por "Hoja", me refiero a la hoja de los correspondientes complejos singular foliación de $\mathbb{C}P^{2}$. Algunos de los técnicos y de los aspectos históricos de estas foliaciones se explican aquí. Sin embargo, en esta vinculado papel no hay una explícita explianation sobre el "error".

De acuerdo con el video de la conferencia de Ilyashenko, siempre en la respuesta a esta pregunta por Andrey Gogolev, nos preguntamos:

¿Cuál es el destino de la "persistencia de problemas", el cual es mencionado por Ilyashenko? Cómo puede ser revisado a convertirse en un verdadero estado de cuenta?

De acuerdo a la primera página de la versión en inglés de el papel de Petrovski_Landis pedimos

"¿Cómo se supone que una solución de la ecuación puede ser considerado como un completo mapa de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{C}P^{2}$? Puede cada una de las hojas parametrizar por todo el mapa? ¿Este "todo-asunción", juegan un papel importante en su prueba? Por favor, Ver este post relacionados.

De acuerdo a los comentarios y respuestas a esta pregunta, nos undrestand no hay un documento escrito que explica el error, de forma explícita.Por qué realmente este es el caso?

Answer 1

No una respuesta, pero demasiado largo para un comentario:

De acuerdo a Ilyashenko ("Centenario de la historia de Hilbert 16 de problema" http://www.ams.org/journals/bull/2002-39-03/S0273-0979-02-00946-1/S0273-0979-02-00946-1.pdf), el resultado reivindicado de por nombre de petrovski y Landis fue desmentida por la Ilyashenko y Novikov (pg. 303). Una infracción a esta refutación no es dado, Ilyashenko la bibliografía de las listas no hay artículos por Ilyashenko & Novikov, y no puedo encontrar un documento por Ilyashenko y Novikov en el tema, así que no creo que se haya publicado su argumento; sin embargo, Ilyashenko sí señalar que Landis y por nombre de petrovski afirmó $H(2)=3$, pero la Canción Shi Lin y Chen y Wang forma independiente construido cuadrática campos vectoriales con cuatro ciclos límite, demostrando que $H(2)\ge 4$. Sus métodos se basan en Poincaré Bendixon teorema sobre la $S^{2}$, y la orden de débil foco de la cuadrática del sistema.

• Entonces, ¿cuál fue el error?

Esto parece demasiado difícil de encontrar! Landis y por nombre de petrovski del papel "En el número de ciclos límite de la ecuación de ${dy\over dx}={P(x, y)\over Q(x, y)}$ donde $P$ e $Q$ son polinomios de 2º grado" está disponible gratuitamente en internet (http://www.mathnet.ru/links/b7f25c4ee0acc2e5f39e5614ea6e4c54/sm5216.pdf); por desgracia, parece que sólo estará disponible en ruso, que yo no puedo leer. Además, no puedo encontrar una copia de Chen y Wang papel o de Shi de papel en línea (aunque el resumen de la última disponible), lo que creo decir, al menos un poco acerca de Landis y por nombre de petrovski argumentos.

En el lado positivo, explícita construcciones de la cuadrática campos vectoriales con cuatro ciclos límite - aunque realmente bonitos! - están disponibles en inglés: por ejemplo, http://arxiv.org/pdf/1002.1055v1.pdf. Me parece que no puede encontrar el más simple de los ejemplos, sin embargo, lo que presumiblemente ser el mejor para tratar de averiguar (sin acceso al documento en sí) lo que el error fue.

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Como un lado de la cuestión,

• Cuando fue notado?

Ilyashenko dice que él y Novikov encontrado el error "en la década de los años 60" (pg. 303). Copia de esto, Shi abstracta se menciona que la pregunta "¿existe una ecuación cuadrática campo vectorial con exactamente 4 ciclos límite?" se le preguntó en una 1974 simposio sobre Hilbert problemas, así que es de suponer que el error ya era conocida (Landis y por nombre de petrovski publicado en 1955). Luego las cosas se ponen un poco difícil para mí para el seguimiento de la pista: es de suponer que, en el simposio en cuestión fue "desarrollos Matemáticos que surgen de Hilbert de problemas" (http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=PSPUM-28); sin embargo, la tabla de contenido de las actas de simposio que no muestran hablar o papel en el 16 de problema. Por lo tanto, aunque me imagino más específico sobre cuando el error se ha notado (y tal vez incluso lo que era!) habría sucedido en este simposio, yo no la puede encontrar.

Más allá de eso, no tengo idea de cuando exactamente el error fue descubierto.

Answer 2

Ilyashenko explica muy bien la estrategia y el principal error de Petrovski-Landis en esta conferencia:

http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=8316

Mira desde 50m.