¿Existe una teoría general de la "compactación"?

Question

En las diversas ramas de las matemáticas que uno encuentra diversas nociones de compactification, utilizado para fines diversos. Ciertamente, uno no espera que todas las instancias de "compactification" para ser especializaciones de una única noción general. Pero tal vez hay algo que decir de una manera más "taxonómica" perspectiva? Es decir, podemos categorizar sistemáticamente ¿cuáles son las principales distinciones de establecerse entre los diferentes tipos de "compactification"?

Echemos un vistazo a algunos ejemplos. Me encantaría recibir algunos ejemplos más para añadir a esta lista.

Topología:

• en un punto de compactification local de espacios compactos.

• Stone-Cech compactification de completamente regular espacios.

• Bohr compactification de un grupo topológico.

La Geometría Algebraica:

• Maravilloso compactification de una $G$-espacio.

• Deligne-Mumford compactification de los módulos de la pila de curvas.

La Geometría Diferencial:

• final compactification de un colector.

La Física Matemática:

• Varias espacio-tiempo compactifications

Me estoy poniendo cada vez más de mi profundidad a medida que me vaya, pero vamos a enumerar algunos

Puntos en común:

• Una de las necesidades de la noción de "pacto".

• Uno se identifica una clase de "agradable" espacios y canónica se asigna a "compacto" de los espacios. Estos mapas deben tener "denso" imagen " en el sentido apropiado.

• Uno es normalmente interesados en los casos donde la canónica mapas son "incrustaciones" en un sentido apropiado.

Distinciones:

• Uno podría intentar compactify en una "máxima" o "mínima" manera.

• Uno puede tener una interpretación de los nuevos puntos como "ideal" puntos del espacio original, por ejemplo, "los puntos en el infinito". Estos pueden ser de clases de equivalencia de algún tipo de "línea" en el antiguo espacio, por ejemplo.

• En el caso de que uno es compactifying algún tipo de espacio de moduli, a uno le gusta tener una interpretación geométrica de los nuevos puntos de una de ellas es añadir, a fin de que el compactification es también una especie de espacio de moduli.

• A veces uno está interesado en compactifying una amplia clase de espacios, y puede que desee algún tipo de característica universal.

• Otras veces, uno es compactifying uno o un puñado de espacio(s), y el énfasis está más en la interpretación geométrica de los nuevos puntos que se está agregando.

Pregunta: ¿hay más puntos en común entre diferentes nociones de compactification? ¿Hay más distinciones importantes para ser dibujado? ¿En qué medida existe una teoría general de la "compactification"?

Answer 1

Hay una distinción que me parece sorprendente, pero no saben cómo formalizar útil o cómo evaluar su importancia: En geometría algebraica, módulos de espacios obtener compactified, y esto implica la adición de un conjunto relativamente pequeño para el espacio original. A grandes rasgos, el espacio original parametrizes algunos buenos objetos, y la compactification suma puntos "en el infinito" parametrización un cierto tipo de degeneraciones de esos bonitos objetos. Normalmente, la parte en el infinito tiene menor dimensión que el original espacio. En contraste, en "mi mundo" de ultrafilters y Stone-Cech (o similar) compactifications, la parte en el infinito tiende a ser mucho más grande que el espacio original. Una contables espacio discreto y la línea real ambos tienen Stone-Cech compactifications de cardinalidad $2^c$ donde $c$ es el cardinal del continuo.

Y no es sólo una cuestión del tamaño de la pieza en el infinito; es también una cuestión de la interpretación intuitiva de los puntos extra. Es difícil para mí imaginar un no-director de ultrafilter en $\mathbb N$ como un "degenerado" número natural.