Veo integrales definidas como anti-derivados, pero por alguna razón no he encontrado lo contrario. Ambos parecen igualmente implicados por el teorema fundamental del cálculo.
Esto surgió como un punto de conflicto en esta pregunta .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje $f(x)=0$ para todos los verdaderos $x$.
Aquí es un anti-integral para $f$:
$$ g(x) = \begin{cases} x &\text{when }x\in\mathbb Z \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ en el sentido de que $\int_a^b g(x)\,dx = f(b)-f(a)$ para todos los $a,b$.
¿Cómo se puede explicar que la pendiente de $f$ a $x=5$ no $g(5)=5$?
La idea funciona mejor si nos restringimos a todas las funciones que una mirada a "suficientemente bueno" - que, por ejemplo, podríamos insistir en que todo es real analítica.
Simplemente buscando una continua anti-integral, no basta para recuperar el habitual concepto de derivada, porque entonces algo como $$ x \mapsto \begin{cases} 0 & \text{when }x=0 \\ x^2\sin(1/x) & \text{otherwise} \end{cases} $$ no han derivado en $\mathbb R$ (que se hace a través de la definición habitual).
grjj3
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34
En un sentido tu pregunta es muy natural. Vamos a tomar un enfoque de carácter informal y, a continuación, ver donde los tecnicismos surgir. (Que es como un montón de investigación de matemáticas de obras, por el camino! Tener una idea intuitiva y, a continuación, tratar de poner en práctica cuidadosamente. El diablo siempre está en los detalles.)
Así, una manera de decirle a la conocida historia de una variable cálculo es como sigue:
- Definir el derivado $f'$ de una función de $f$ como el límite del cociente de la diferencia, $h^{-1}(f(x+h)-f(x))$, como $h\to0$.
- Definir un anti-derivada de una función $f$ como una función de $F$ para que $F'=f$.
- Definir la integral definida de una función de $f$ sobre $[a,b]$, dicen, como el límite de sumas de Riemann.
- Descubrir que (2) y (3) están relacionados, en el sentido de que $$\int_a^bf=F(b)-F(a)$$ tan largo como $F$ es anti-derivado de la $f$.
Ahora, su idea es que usted puede imaginar hacer esto de otra manera, de la siguiente manera:
- Definir la integral definida de una función de $f$ a un intervalo de tiempo $[a,b]$, digamos como un límite de sumas de Riemann.
- Definir un anti-integral de una función $F$ como una función de $f$ para los que $$F(x)-F(0)=\int_0^xf$$
- Definir la derivada de una función, como el límite del cociente de la diferencia.
- Descubrir que (2) y (3) están relacionados, en el sentido de que un anti-integral de $f$ es sólo $f'$, mientras $f'$ está definido.
El problema en ambas historias, surge en los pasos 2 y 4. En ambas versiones, el paso 4 es una forma del Teorema Fundamental.
El Problema con el Paso 2
En tanto la norma y el volteado de la historia, el paso 2 plantea la existencia y unicidad de problemas.
En la historia estándar, un anti-derivado de la $f$ puede incluso no existir; una condición suficiente es requerir que los $f$ ser continua, pero que no es necesario. E incluso si usted requiere que $f$ ser continua, siempre vas a tener la no-unicidad. Por lo tanto, "anti-diferenciación" interpretarse como una operación no es realmente un " bona fide "inversa" de la operación, porque no es un solo valor. O en otras palabras, la diferenciación no es inyectiva: identifica muchas funciones diferentes. (Exactamente que funciones se identifica depende de la topología del dominio están definidos en.)
En el volteado de la historia, de nuevo, tenga en cuenta que nosotros ciertamente nunca han singularidad. Dado cualquier anti-integral $f$, usted puede encontrar una infinidad de otros por el cambio de los valores de $f$ a un conjunto de medida cero. Tambien no se garantiza la existencia de un anti-integral para un determinado $F$, y esta vez ni siquiera la continuidad de $F$ servirá como una condición suficiente. Lo que necesitamos es aún más fuerte, "continuidad absoluta."
El Problema con el Paso 4
En la historia estándar, la captura es de "tan largo como $F$ es anti-derivado de la $f$." El problema es que no todos los Riemann integrable función tiene un anti-derivados. Si queremos garantizar un anti-derivada, podemos imponer el adicional de la hipótesis de que la $f$ es continua (que nuevamente es suficiente pero no necesaria).
Un problema similar se plantea en la volteada escenario: debido a un arbitrario $f$, no puede tener un anti-integral. El teorema fundamental de Lebesgue integrales muestra que es a la vez necesaria y suficiente para exigir que $f$ ser absolutamente continua, al menos cuando trabajamos con el Lebesgue la integral definida, en lugar de la de Riemann de la integral definida. Pero dado el hecho de que las integrales no son sensibles a los valores en un conjunto de medida cero, la mejor conclusión que podemos extraer de este caso es que un anti-integral de $f$ es igual a $f'$ "casi en todas partes" (es decir, en todas partes, excepto en un conjunto de medida cero).
El Resultado
Tenga en cuenta que incluso en la historia conocida, no podemos definir las integrales como anti-derivados. Por lo tanto usted no debe esperar que podríamos definir derivados como anti-integrales. Lo esencial obstrucción a este tipo de definición es la existencia y unicidad.
En ambos escenarios, el primero se especifican los aparentemente no relacionados límite basado en las definiciones de los instrumentos derivados y las integrales definidas. Luego nos descubre una relación acerca de cómo anti-derivados están relacionados con las integrales de (la historia estándar) o cómo anti-integrales están relacionados con derivados (el volteado de la historia), asumiendo suficiente regularidad de las funciones involucradas para resolver la existencia y unicidad de problemas.
Stella Biderman
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3809
Desde el punto de vista de análisis (como se insinúa en Henning Makholm la respuesta) el problema es que la asignación de $I:f'\to f$ es extremadamente no uno-a-uno. Cuando intenta invertir, usted encontrará que una gran cantidad de funciones posibles son "anti-integrales" de una función dada. Mientras esto ocurre, por $d:f\to f'$ así, existe una fuerte teoría matemática sobre cómo abordar esta cuestión y la forma de describir el conjunto de la anti-derivada de una función dada. Por ejemplo, si $f$ se define en $[a,b]$ , a continuación, todos los antiderivatives de $f$ son de la forma $$F_i(x)=c_i + \int_a^x f(t)dt$$ for constants $c_i$. Although in some contexts the situation becomes more complicated (for example, if we look at $1/x$ defined on $[-1,0)\cup(0,1]$ , a continuación, usted tiene dos constantes, una para cada lado) hay todo un campo que estudia lo que sucede para varios dominios.
La situación para la inversión de $I$ es mucho menos optimista. Para una cosa, si usted toma cualquier subconjunto finito de dominio, usted puede mover el el valor de la función alrededor, sin embargo te gusta sin cambiar el valor. Más en general, mientras las dos funciones no están de acuerdo en un conjunto de medida cero tendrán la misma integral. Que yo sepa no hay ninguna forma conocida para fructífero analizar un conjunto de funciones (una instrucción que tiene profundas repercusiones en el aprendizaje de máquina y el análisis funcional).
Una segunda cuestión es que la integración no siempre asegurarse de que se pueden diferenciar. Hay una amplia variedad de funciones de $f$ tal que el anti-integral no tiene (o no tiene) producen una función derivable! Por ejemplo, si $1_\mathbb{Q}$ denota la función que toma el valor $1$ racional de los insumos y $0$ irracionales entradas, esta función tiene una integral de Lebesgue de $0$ (un ejemplo similar obras para la integral de Riemann, pero es más trabajo). Si el tratamiento integral de la $f(x)=0$ y consigue $1_\mathbb{Q}$, no se puede diferenciar y regresar $f(x)=0$ porque no es diferenciable.
Un comentarista menciona cálculo vectorial, y es cierto que algo como esto sucede en cálculo vectorial, pero hay un par masiva advertencias.
AccidentalFourierTransform
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281
Débil derivados.
Esta es básicamente la manera en que se definen una débil derivados. Si una función no es diferenciable en el sentido tradicional, pero es integrable, entonces se puede definir una débil noción de derivada a través de la dualidad: la derivada de $f$ es la función de $f'$ tales que $$ \int f' u=-\int f u' $$ para todas las funciones lisas $u$. Se puede probar que la función de $f'$ es en el hecho de $L^p$-único. Si $f$ es diferenciable en el estándar sentido, entonces también es diferenciable en el sentido débil, y ambos derivados de acuerdo.
Por ejemplo, la función de Dirichlet es nada continua, digamos diferenciable. Pero su débil derivado existe, y de hecho es la función cero. De hecho, $$ 0=\int 1_{\mathbb Q} u'=-\int 1'_{\mathbb Q} u $$ implica que $1'_{\mathbb Q}=0$ en casi todas partes.
