¿Por qué nos importa el esquema de puntos de Hilbert?

Question

Si $X$ es un esquema, el esquema de Hilbert de puntos de $X^{[n]}$ parametriza cero dimensional subschemes de $X$ grado $n$.

¿Por qué nos importa eso?

Por supuesto, hay un montón de "en el tema" razones, que resumo diciendo que $X^{[n]}$ es tal vez la más simple moderno espacio de moduli, y como tal, es un muy fértil terreno de prueba para las ideas en los módulos de teoría. Pero no está claro que esto sería muy convincente para alguien que no está interesado en $X^{[n]}$.

La pregunta que me estoy preguntando es:

¿Por qué alguien que no estudio de los módulos de atención acerca de la $X^{[n]}$?

La razón principal por la que me hago es por el bien de tener algunos relevantes de la motivación de las secciones en las conversaciones. Pero una respuesta a la siguiente versión de la pregunta sería muy valiosa así:

¿Puede alguien que sabe mucho de algo* acerca de la $X^{[n]}$ contribuir a otras áreas de la geometría algebraica, o de las matemáticas de manera más general, o incluso de otras materias?

---

*reformulado a la luz de la respuesta de Nakajima

Answer 1

Una de las razones es la siguiente. Si $X$ es una curva suave de la simetría del producto $X^{(n)}$ es suave. Si $X$ es una superficie lisa, $X^{(n)}$ es singular, pero es un teorema de Fogarty que $X^{[n]}$ es suave. Así que es un lugar natural) resolución de singularidades de $X^{(n)}$.

Si por otra parte $X$ es un simpléctica de la superficie (es decir, un $K3$ o un abelian de la superficie), $X^{[n]}$ tiene una forma simpléctica. Como Beauville mostró, en el $K3$ caso es aún un irreductible variedad simpléctica; en el abelian caso de que algunas subvariedades $K_{n-1}(X) \subset X^{[n]}$ es irreductible simpléctica.

Hay muy pocos ejemplos conocidos de irreductible simpléctica variedades en dimensión superior: hasta la deformación, he hecho una lista de todos ellos, a excepción de dos esporádicos ejemplos construidos por O'Grady! Esto demuestra que los esquemas de Hilbert $X^{[n]}$ son de hecho muy relevante para las personas que estudian holomorphic geometría simpléctica.

Answer 2

Mark Haiman utilizó esquemas de superficies de Hilbert para demostrar la conjetura de positividad de Macdonald sobre los polinomios de Macdonald: ver esquemas de Hilbert, polígrafos y la conjetura de positividad de Macdonald

Answer 3

La conexión entre la geometría de Hilbert esquema de puntos en $\mathbb{C}^d$ y la combinatoria de $d$-dimensiones particiones (montones de $d$dimensiones de las cajas en la esquina de una $d$-dimensiones de la habitación) puede resonar con algunos miembros de su público. En la dimensión 3, especialmente, los conocimientos geométricos ha llevado a la hermosa combinatoria de los resultados sobre 3 dimensiones de la caja de conteo (tengo en mente Joven, arXiv:0802.3948 y Okounkov-Reshetikhin-Vafa hep-th/0309208).

La conexión que Allen menciona con tiembla es bueno, y para contrarrestar a su dimensión 2 sesgo, creo que el carcaj historia podría decirse que es incluso mejor en dimensión 3. El esquema de Hilbert de puntos en $\mathbb{C}^3$ (o $\mathbb{C}^3/G$) está dada por las representaciones de un carcaj con super-potencial. A diferencia de la superficie de caso, las relaciones en el carcaj están dadas por el lugar crítico de una sola función --- un fenómeno especial a la dimensión 3.

Answer 4

Creo que todos los que hasta ahora ha dicho que "de Hilbert esquemas de puntos en las superficies" vale la pena estudiar. Personalmente, me tomo esto como una señal de que Hilbert esquemas de puntos (en general $X$) son no que interesante, y que es un mero accidente histórico que estas fastuosas joyas que se encontraron dentro de las muchas toneladas de valor de Hilbert esquema de mineral.

En particular, tenga en cuenta que el esquema de Hilbert de $n$ puntos en el plano (o en otro $\widetilde{{\mathbb C}^2/\Gamma}$, para $\Gamma \leq SU(2)$) puede ser alternativamente visto como un Grojnowski-Nakajima carcaj variedad, y estos son lisas holomorphic simpléctica colectores en general.

Answer 5

Como estudiante, yo una vez le preguntó a John Mather para consejos sobre cómo lidiar con los espacios de ordenadas $n$-tuplas de puntos distintos en un colector -- cómo organizarse sobre la limitación de los casos en donde los puntos vienen juntos. Él dijo que necesitaba el esquema de Hilbert, y estaba en lo correcto. Bueno, yo no estaba haciendo la geometría algebraica -- yo estaba haciendo algo con suave colectores -- y él lo sabía, así que el "esquema" era la palabra adecuada. Pero algún tipo de esencia del esquema de Hilbert idea, adaptado a lo que hubiera sido real semi-geometría algebraica si yo había sido sistemático al respecto, hizo el truco.