¿Ejemplos de grupos finitos con biyección (es) buena (s) entre clases de conjugación y representaciones irreducibles?

Question

Para el grupo simétrico clases conjugacy y representación irreducible ambos son parametrizadas por Jóvenes diagramas, así que hay una especie de "bueno" bijection entre los dos conjuntos. General de los grupos finitos ver MO discusión.

Pregunta: ¿cuáles son los grupos finitos, donde los "buenos" bijection(s) entre las clases conjugacy y representaciones irreducibles son conocidos ?

"Bueno" bijection es un informal "definición", sin embargo espero que el ejemplo de S_n y otros ejemplos que se muestran a continuación, pueden convencer de que la pregunta tiene sentido.
Creo que es demasiado optimista para tener un único bijection para el grupo general, pero a mí me parece que para ciertas clases de grupos no puede ser un conjunto de "buenas" bijections. Permítanme comentar brevemente a continuación algunas de las propiedades que la "buena" bijection puede satisfacer, y se pueden discutir los detalles en la siguiente pregunta.

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Algunos ejemplos:

1) grupo simétrico S_n

2) Z/2Z es, naturalmente, isomprhic a su doble, así como a $Z/2Z \oplus Z/2Z$ véase, por ejemplo, MO "fantásticas propiedades de Z/2Z"

3) en General para abelian grupos finitos: entre todo el conjunto de la teoría de la bijections $G \to \hat G$, algunas se distinguen de que ellos son un grupo isomorphisms. Así que no único, pero una clase de "buena" bijections.

4) De GL(2,F_q) Pablo Garret escribe: "las clases conjugacy partido de una manera ad hoc especíca de las representaciones". (Vea aquí la tabla en la página 11).

5) G. Kuperberg describe la relación de la McKay de la correspondencia y de que tipo de bijection para A_5 (o su extensión central), ver aquí.

6) Si he entendido bien aquí en MO D. Jordan menciona que existe bijection para grupos de Coxeter. (Yo estaría agradecido por referencia detallada).

7) Diedro grupos $D_{2n}$ - véase la respuesta por Glasby a continuación

8) Finito Heisenberg grupo con $p^{2n+1}$ elementos, también conocido como extraspecial grupo - ver respuesta por Glasby a continuación

9) Quternionic grupo $Q_{8}$ - de hecho, esto puede ser visto como un ejemplo particular del ítem anterior. O nota que es $Z/2Z$ central de extensión de $Z/2Z \oplus Z/2Z$, y $ Z/2Z \oplus Z/2Z$ natural bijection como se mencionó en el punto 2 anterior, y es fácil extenderlo a $Q_8$.

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10) Parece que para Drinfeld doble de un número finito de grupo (y, probablemente, más en general para "modular categorías") no se sabe análogo de natural bijection. Hay comentario en la página 5 de Drinfeld Dobles para Subgrupos Finitos de SU(2) y SU(3) se encuentran los Grupos. R. COQUEREAUX, Jean-Bernard ZUBER:

En otras palabras, no es sólo un número igual de clases y irreps en una cama doble, también hay un canónica bijection entre ellos.

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Puede haber varias propiedades que la "buena" bijection puede satisfacer, al menos para algunas de las "buenas" de grupos de

1) Respecto de la acción de la $Out(G)$. En realidad los dos conjuntos son no isomorfos en general como $Out(G)$-conjuntos (ver MO21606), sin embargo, hay muchos casos en los que son isomorfos, véase G. Robinson MO-respuesta.

2) la Realidad/las limitaciones de la Racionalidad. De nuevo, en general, no hay correspondencia vea MO, pero hay algunos casos donde las propiedades correspondientes de las clases y las irreps de acuerdo - véase J. Schmidt respuesta a esa pregunta.

Dos propiedades siguientes son aún más problemáticos

3) puede ser que el producto en clases conjugacy tiene algo que ver con el producto tensor de representaciones (al menos para abelian grupos que pueden requerir estos dos totalmente de acuerdo).

4) Si a pensar sobre una especie de "órbita método de la ideología", y piensan que la clase conjugacy es, en cierto sentido perversed coadjoint órbita, podemos abrigar la esperanza de que la estructura de conjugacy representación, de alguna manera deben respetar la "buena" bijection. Por ejemplo, para $S_n$ hemos demostrado que irrep correspondiente a los Jóvenes diagrama "d" de la vida en el interior de la conjugacy subrepresentation se dio cuenta de que las funciones en la clase conjugacy parametrizadas exactamente por "d". (Ver MO153561, MO153991 alguna discusión de conjugacy (adjunto) de la representación).

5) Para algebraica de los grupos de más finito campos clases conjugacy y irreps a veces, naturalmente, divididas en familias (por ejemplo, clases conjugacy son a menudo parametrizadas por ecuaciones $ F_{t_i}(x_k) = 0 $ - el cambio de "t" tenemos diferentes clases conjugacy en la misma "familia"). Por ello, podemos esperar que la buena bijection respeta las familias. (Es que funciona bien para el grupo de Heisenberg, pero para UT(4,p) me he encontrado algunos problemas).

Answer 1

Esta es una pregunta interesante, aunque no está bien definido. Llame a un grupo de "buena" si tiene un "buen" bijection entre sus clases conjugacy y su irreductible complejo de representaciones. Estoy de acuerdo con Alejandro que la definición de un "buen" bijection/grupo debe ser guiada por las clases de ejemplos, pero prefiero que una clase de bijections/grupos debe ser infinito.

Hay familias de buena metacíclicos grupos. Por ejemplo, si $n=2m+1$ es un entero impar, entonces el diedro grupos $D_{2n}=\langle a,b\mid a^2=b^n=1,\; a^{-1}ba=b^{-1}\rangle$ orden $2n$ son buenos. Las clases conjugacy $\{b^j,b^{-j}\}$, $1\leq j\leq m$, $\{1\}$, y $\{a,ab,ab^2,\dots,ab^{n-1}\}$ corresponden bijectively (creo que esta es la "buena") a las representaciones irreducibles $\rho_j$, $1\leq j\leq m$, $\sigma_0$, y $\sigma_1$, respectivamente, donde $\rho_j(a)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $\rho_j(b)=\begin{pmatrix}\zeta_n^j&0\\0&\zeta_n^{-j}\end{pmatrix}$, $\sigma_k(a)=\begin{pmatrix}(-1)^k\end{pmatrix}$, $\sigma_k(b)=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}$ y $\zeta_n=e^{2\pi i/n}$.

Si una familia infinita $G_1, G_2,\dots$ de los grupos es bueno, entonces usted sabe que una gran cantidad de información referente a cada una de las $G_n$ y es probable que pueda producir es una fórmula de escritura $|G_n|$ como una suma de los cuadrados de los grados de las representaciones irreducibles. Para $D_{2n}$ esto es $2n=4m+2=m\times 2^2+2\times 1^2$. Si $G_n$ es un extraspecial grupo de (impar) de $p^{1+2n}$ y el exponente $p$, entonces la fórmula es $p^{1+2n}=(p-1)\times(p^n)^2+p^{2n}\times 1^2$. Tal vez la existencia de una fórmula debe ser parte de la esquiva definición de "bueno".

Además: Sí Alejandro, estás en lo correcto, la extraspecial grupos $G_n$ orden $p^{1+2n}$ e impar exponente $p$ son "buenas". Para describir un "buen" bijection necesito un poco de notación. Deje $f_n\colon V\times V\to\mathbb{F}_p$ ser una degenerada de forma simpléctica en $V=\mathbb{F}_p^{2n}$. La multiplicación en $G_n=V\times \mathbb{F}_p$ está dado por $(v_1,\lambda_1)(v_2,\lambda_2)=(v_1+v_2,\lambda_1+\lambda_2+{\frac12}f_n(v_1,v_2))$, o por las matrices se indican. Las clases conjugacy son como sigue: el $p$ de un elemento (central) clases $Z_\lambda:=\{(0,\lambda)\}$, $\lambda\in\mathbb{F}_p$, y el $p^{2n}-1$ clases $C_v:=\{(v,\lambda)\mid \lambda\in\mathbb{F}_p\}$ donde $0\neq v\in V$. Las representaciones irreducibles es también fácil. El trivial de grado-1 representación corresponde a la clase $Z_0$ que contiene el elemento de identidad. El $p^{2n}-1$ trivial grado-1 representaciones corresponden a la $p$-clases de elementos $C_v$. El resto de los $p-1$ irreducibles de grado $p^n$ corresponden a la $p-1$ central de las clases conjugacy $Z_\lambda$, con $0\neq\lambda\in\mathbb{F}_p$. Fijar un máximo totalmente isotrópica subespacio $W$ de % de$V$. Por Witt del teorema $|W|=p^n$. A continuación, $A:=W\times\mathbb{F}_p$ es la máxima abelian subgrupo de $G_n$ de índice de $p^n$. Deje $\sigma_\lambda$ ser el 1-dimensiones de la representación de $A$, con kernel $W$, la asignación de $(0,1)$ a $e^{2\pi i\lambda/p}$. La inducida por las representaciones de $\rho_\lambda={\rm Ind}_A^{G_n}(\sigma_\lambda)$ son irreducibles de grado $p^n$. (Un cálculo directo muestra $\langle\rho_\lambda,\rho_\lambda\rangle=1$. Elige un $f_n$ o en una diferente máximo totalmente isotrópica subespacio $W'$, da representaciones equivalentes $\rho'_\lambda$. El $W$s se permutan por ${\rm Aut}(G_n)$.) Este es un "buen" bijection, como la identificación de las $V$ con su doble parece permitido.

Answer 2

Creo que es uno de los wunderful bellezas de la teoría de representaciones de grupos finitos de la Mentira escriba $G(\mathbb{F_{p^n}})$ como $GL_2(\mathbb{F_p})$ mencionado anteriormente, que irreducible representaciones son en algunos canónica (pero no perfecto) correspondencia de las clases conjugacy en el grupo con el doble de la raíz del sistema $G^\vee$ ($\sim$ Langlands dual, esto generalmente es isomorfo o de una central de extensión, sino $B_n,C_n$ son intercambiados).

En estos casos, lo que están pidiendo es una parte esencial de Langlands filosofía de un campo finito. La mayoría de lo que voy a escribir a continuación creo que atribuye a Lusztig - es workes muy aproximadamente como sigue:

• Todos hemos conocido Jordania descomposición: Una matriz de $x$ puede ser descompuesto en un unipotentes y semisimple matriz $x_sx_u$. Desde unipotentes matrices son un aditivo grupo y de la diagonal de las matrices de un grupo multiplicativo, sobre el campo $\mathbb{F_{p^n}}$ los elementos $x_s$ tienen orden de $p^k$ y los elementos $x_u$ tienen orden de primer a $p$.

• ...De forma análoga pulsado (más complicado!): Cada personaje $\chi$ de % de $G(\mathbb{F_{p^n}})$ puede ser descompuesto en un unipotentes y un semisimple carácter $\chi_u, \chi_s$ (de tal manera que las dimensiones se multiplican a $\dim(\chi)$), los cuales se describen de la siguiente manera:

• El semisimple personajes se caracteriza por tener una dimensión de primer a $p$. Ellos están en un muy transparente en bijection a semisimple clases de $[s]$ (es decir, de primer orden a $p$) en el sistema dual de grupo $G^\vee(\mathbb{F_{p^n}})$....básicamente, mirando lo que hacen en el toro.

• El unipotentes personajes son mucho más complicadas de tratar. De hecho, yo no sé (que no significa que no hay una definición independiente de la teoría de la bandera varienty cohmology y Deligne-Lusztig caracteres; por lo general, en la que distingue entre cuspidal unipotentes representaciones y entre unipotentes representaciones inducidas desde el cuspidals de menor parabolics.

• ...Sin embargo: $\chi_u$ es un unipotentes carácter de la centralizador de $[s]$, por lo que es una representación de una expresión algebraica subgrupo de la doble $G^\vee(\mathbb{F_{p^n}})$. Fue una difícil conjetura (creo que probado?) que estos son ahora de nuevo en bijection a especial unipotentes clases de nuevo el doble (doble).

Ejemplo:

Para $G=PSL_2$ dual se $G^\vee=SL_2$. El unipotentes representaciones puede ser construido a partir del conjunto de Deligne-Lusztig personajes y una fija Irreps del grupo de Weyl. Esto es cierto para $PSL_n$, por lo que tenemos $n!$ unipotentes representaciones. Los dos extremal de los casos se $\chi_u$ el trivial de la representación y de la $\chi_u$ Steinberg representación de la dimensión $p$ (resp. $p^{n(n-1)/2}$). En el caso más general en que recuperamos la imagen conocida de $\mathbb{S}_n$:

Unipotentes $SL_n$-Irreps $\chi_u$ biject de $\mathbb{S}_n$-Irreps biject a $n$-particiones biject a $\mathbb{S}_n$ clases conjugacy, pero también a Jordania bloques de unipotentes matrices (con autovalor $1$) en $SL_n$.