¿Por qué la fórmula de McMahon se parece al principio de inclusión-exclusión?

Question

La McMahon fórmula para el número de mosaicos de una $a \times b \times c$ hexágono por pastillas:

$$ \Big[H(a)H(b)H(c)\Big] \Big[H(a+b)H(b+c)H(c+a)\Big]^{-1} \Big[H(a+b+c)\Big]$$

se ve extrañamente como la inclusión-exclusión de la fórmula:

$$ |A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$$

Aquí $H(a) = 1! 2! \dots a!$ es el hyperfactorial.

Tal vez exista una explicación general a través de Gelfand-Tsetlins o algo?

_{(fuente: microsoft.com)}

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero al ver como este es un nuevo post, me gustaría añadir:

Estas son las $20\; 2\times2\times2$ plano de las particiones. Tenga en cuenta que hay $4$ de cada color cuando se ve como hexágonos.

Si dejamos $a=1$, obtenemos:

$$\dbinom{b+c}{c}=\prod_{i=1}^b\prod_{j=1}^c \dfrac{i+j}{i+j-1}=\prod_{i=1}^c \dfrac{i+b}{i}$$

Un par de enlaces más:

• Mathworld
• Wikipedia
• DLMF

Nota de la I-E principio es divisiva y no sustractivo.