Funciones cuyos caminos de descenso de gradiente son geodésicos

Question

Deje $f(x,y)$ definir una superficie $S$ en $\mathbb{R}^3$ con un único mínimo local en $b \in S$. Supongamos que el gradiente de descenso desde cualquier punto de inicio de la $a \in S$ sigue una geodésica en $S$ de $a$ a $b$. (P1.) ¿Cuál es la clase de funciones/superficies cuyo gradiente-trayectorias de descenso son geodesics?

Ciertamente, si $S$ es una superficie de revolución acerca de una $z$-línea vertical a través de $b$, su "meridianos" son geodesics, y estos serían los caminos seguidos por gradiente de descenso a $b$. Por lo que la clase de superficies incluye las superficies de la revolución. Pero sin duda es más amplio que el?

(2t.) Uno podría hacer la misma pregunta acerca de los caminos seguidos por El método de Newton, que en general son diferentes de gradiente de descenso rutas de acceso, como se indica en esta Wikipedia imagen:
       Gradiente de la pendiente: verde. El método de Newton: rojo.

(P3.) Estas preguntas tienen sentido en dimensiones arbitrarias, aunque mi principal interés es la de las superficies en $\mathbb{R}^3$.

Cualquier idea sobre cómo formular mi pregunta como restricciones en $f(\;)$, o punteros de la literatura relevante, sería apreciada. Gracias!

Answer 1

Para (Q1). El espacio de la tangente de $S$ es generado por el gradiente de flujo del campo vectorial $v = (|\nabla f|^2, \nabla f)$ y las tangentes a los conjuntos de nivel $w= (0, \nabla^\perp f)$. La geodésica restricción puede ser impuesta como la condición de "no lateralmente aceleración", lo que significa que $[(\nabla f \cdot \nabla )v] \cdot w = 0$. Esto implica que $\nabla^2_{ij} f \nabla^if \nabla^{(\perp)j}f = 0$. En otras palabras, la eigendirections de Hesse de $f$ debe $\nabla f$ y su ortogonal, o que $\nabla f$ es paralelo a $\nabla |\nabla f|^2$. Así que esto significa que $f$ e $|\nabla f|^2$ comparten el mismo nivel de conjuntos. (Esta misma caracterización es válida para cualquier dimensión; así también las respuestas (Q3). )

En particular, esto responde Denis de la Serre (T4) en el positivo.

Answer 2

Aquí está una función de $f(x,y)$ que es 0 en el interior de la plaza de la $C=[\pm1,\pm1]$, y fuera de esa plaza tiene un valor igual a la distancia Euclidiana $d( p, C )$ de $p=(x,y)$ hasta el límite de $C$. [Estoy tratando de seguir Pietro Majer sugerencia, tal y como yo lo entiendo.] No es una superficie de revolución (pero es centralmente simétrica). Son sus trayectorias de descenso de gradiente geodesics? Yo creo que sí...

Arriba a la izquierda: $f(x,y)$. Derecha arriba: conjuntos de Nivel de $f$. A continuación: $\nabla f$.

Y aquí (abajo) es un primer plano de la función definida mediante el cuadrado de la distancia $[d( p, C )]^2$, como por Willie Wong sugerencia: