Distribuir los puntos uniformemente en una esfera

Question

Estoy buscando un algoritmo para poner $n$ -puntos en una esfera, de modo que la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera sea lo más grande posible.

He encontrado algunas preguntas relacionadas en stackoverflow pero esos algoritmos no son una solución exacta más distribuciones aleatorias. Para un número especial de puntos (sólidos platónicos inscritos) está claro pero qué tal 5 puntos por ejemplo. Estaría agradecido por las pistas de la literatura.

Gracias a todos por su tiempo.

Answer 1

Existe una considerable bibliografía sobre esta cuestión, así como variaciones estrechamente relacionadas. Véase:

• El El problema de Thompson : ¿Qué configuraciones de $n$ ¿los electrones en una esfera minimizan la energía potencial electrostática?
• El El problema de Tammes : ¿Qué configuraciones de $n$ puntos de una esfera maximizan la menor distancia entre dos puntos cualesquiera? A veces se expresa como empaquetamiento $n$ círculos congruentes en una esfera:

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          (Imagen de Paul Sutcliffe .)

Según

Musin, Oleg R., y Alexey S. Tarasov. "El problema de Tammes para $N=14$ ." arXiv:1410.2536 Resumen (2014).

el problema de Tammes se resuelve exactamente para

• Para $n=3,4,6,12$ de L. Fejes Toth (1943).
• Para $n=5,7,8,9$ de Schütte y van der Waerden (1951).
• Para $n=10,11$ de Danzer (1963). Añadido ( 8Sep15 ): Radio exacto para $n=10$ por Sugimoto & Tanemura.
• Para $n=24$ por Robinson (1961).

• Para $n=13, 14$ de Musin y Tarasov (2014).

           
            Fig.1 de Musin & Tarasov: $n=14$ .

  Añadido ( 8Sep15 ): El radio exacto para $n=10$ se acaba de encontrar:

Teruhisa Sugimoto, Masaharu Tanemura. "Valor exacto del problema de Tammes para N=10". Sep 2015. arXiv 1509.01768 Resumen .

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          Fig.1b de Sugimoto & Tanemura.

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Añadido ( 31 de diciembre de 2017 ) en respuesta a una pregunta de @R_Berger: Para $n=20$ El mejor arreglo para el problema de Tammes no es los vértices del dodecaedro. Se desconoce el óptimo, pero éste supera al dodecaedro:

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          Coordenadas de Enlace de Neil Sloane , debido a R.H. Hardin, N.J.A. Sloane y W.D. Smith (1994).

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Answer 2

Ya que preguntas por una perspectiva algorítmica, quería señalar que una variación estrechamente relacionada (con potencial logarítmico en lugar de potencial de núcleo duro) es el tema de uno de los artículos de Smale " Problemas matemáticos para el próximo siglo ." En el problema 7, Smale pregunta si existe un algoritmo de tiempo polinómico ( en un modelo particular de computación sobre números reales ) para colocar $N$ puntos de la esfera para que la energía total sea $O(\log N)$ por encima de la energía mínima.

Ahora, para determinados valores finitos de $N$ Neil Sloane tiene una tabla de los códigos esféricos más conocidos con referencias: http://neilsloane.com/packings/

Answer 3

Hay una lista bastante completa de artículos de investigación sobre puntos en esferas y colectores en https://my.vanderbilt.edu/edsaff/spheres-manifolds/

Un buen artículo es el de E. B. Saff, A. B. J. Kuijlaars, "Distributing Many Points on a Sphere", The Mathematical Intelligencer, invierno de 1997, volumen 19, número 1, pp 5-11.