¿Qué es un triángulo?

Question

Últimamente he estado leyendo sobre las categorías derivadas (sobre todo a través de la obra de Hartshorne Residuos y dualidad y algunas notas en línea), y al hablar con algunas otras personas, me he dado cuenta de que me resulta difícil describir lo que es un "triángulo" (así como algunas otras confusiones, que se describirán más adelante).

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea una categoría abeliana, y sea $K(\mathcal{A})$ y $D(\mathcal{A})$ sean su categoría de homotopía y sus categorías derivadas, respectivamente.

Por definición, en cualquiera de los dos casos $K(\mathcal{A})$ o $D(\mathcal{A})$ ,

(1) Un triángulo es un diagrama $X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow X[1]$ que es isomorfo a un diagrama de la forma $$X\stackrel{f}{\rightarrow}Y\rightarrow Cone(f)\rightarrow X[1]$$

Esta es la definición, aunque no entiendo muy bien la motivación.

Algo más útil para mí, es la definición:

(2) Un functor cohomológico de una categoría triangulada $\mathcal{C}$ a una categoría abeliana $\mathcal{A}$ es un functor aditivo que lleva los triángulos a secuencias exactas largas.

Ya que al tomar la cohomología de un complejo (en cualquiera de los dos $K(\mathcal{A})$ o $D(\mathcal{A})$ ) es un functor cohomológico, esta definición me dice que debo pensar en un triángulo como si fuera "una secuencia exacta corta" (en el sentido de que, clásicamente, tomar la cohomología de una secuencia exacta corta da como resultado una secuencia exacta larga). Esta idea también se apoya en el hecho

(3) Si $0\rightarrow X^\bullet\rightarrow Y^\bullet\rightarrow Z^\bullet\rightarrow 0$ es una secuencia exacta de complejos de cadena, entonces existe un mapa natural $Z^\bullet\rightarrow X[1]^\bullet$ en la categoría de derivados $D(\mathcal{A})$ haciendo $X^\bullet\rightarrow Y^\bullet\rightarrow Z^\bullet\rightarrow X[1]^\bullet$ en un triángulo (en $D(\mathcal{A})$ ).

Esto me lleva a mi primera precisión pregunta : ¿Pueden existir triángulos en $D(\mathcal{A})$ que no provienen de secuencias exactas? Si es así, ¿existe una caracterización de las mismas? ¿Es (3) falso en la categoría de homotopía $K(\mathcal{A})$ ? (ciertamente la misma prueba no funciona).

En cierto modo, espero que las respuestas a la primera y la última pregunta sean ambas "Sí", lo que hace que la comparación entre triángulos y "secuencias exactas" sea un poco extraña. Por supuesto, $K(\mathcal{A})$ y $D(\mathcal{A})$ casi nunca son categorías abelianas, por lo que es "raro" hablar de secuencias exactas en ellas.

Supongo que, a nivel fundamental, la "categoría de homotopía" me parece algo misteriosa. No entiendo del todo su papel en la construcción de la categoría derivada, ya que al fin y al cabo las equivalencias de homotopía son cuasi-isomorfismos. También me resulta difícil interiorizar esta noción de "morfismos homotópicos de complejos de cadenas". Para mí, no es más que un "truco técnico" que permite hacer toda esta magia con los conos de mapeo que permite $K(\mathcal{A})$ sea una categoría triangulada, mientras que la categoría abeliana normal de complejos de cadenas no lo es. Puedo demostrar cosas con ella, pero cada vez que lo hago, me siento un poco inquieto, como si estuviera jugando con algo "mágico" que podría, en cualquier momento, volverse contra mí inesperadamente.

Además de mis preguntas específicas anteriores, supongo que esperaba que alguien fuera capaz de articular de una manera agradable cómo se debe pensar en los triángulos, por qué esta noción de una categoría triangulada es tan exitosa, y con suerte aliviar algo de mi inquietud con respecto a la homotopía.

Answer 1

Para responder a sus primeras preguntas precisas:

• Sí, todos los triángulos distinguidos en $D(A)$ proviene de una secuencia corta exacta. Para cada triángulo distinguido $X \to Y \to \mathrm{Cone}(f) \stackrel{+1}\to $ existe una corta secuencia exacta $$ 0 \to Y \to \mathrm{Cone}(f) \to X[-1] \to 0$$ de complejos en $A$ y nuestro distinguido triángulo surge de éste por rotación.

• Por el mismo argumento, todo triángulo distinguido en $K(A)$ proviene de una secuencia exacta corta (al menos hasta una rotación). Sin embargo, no toda secuencia exacta corta da lugar a un triángulo distinguido en $K(A)$ . Si $$ 0 \to X \stackrel f \to Y \to Z \to 0$$ es una corta secuencia exacta de complejos en $A$ entonces existe un mapa natural $\mathrm{Cone}(f) \to Z$ que en general es sólo un cuasi-isomorfismo, no una equivalencia homotópica. Si, por ejemplo, la secuencia exacta corta se divide en grado, entonces siempre es una equivalencia de homotopía, y obtenemos un triángulo en $K(A)$ .

Muy bien. Sobre su pregunta "¿Por qué $K(A)$ ?". Tienes razón en que las equivalencias de homotopía son cuasi-isomorfismos. Así que en principio se podría construir $D(A)$ en "un paso" tomando la categoría de complejos e invirtiendo los cuasi-isomorfismos. Pero hay algunas razones técnicas para preferir la construcción a través de la categoría $K(A)$ . En primer lugar, la categoría $K(A)$ ya está triangulada, y esto es fácil de demostrar. Esto significa que para construir $D(A)$ nos encontramos en la situación de Localización de Verdier : tenemos una categoría triangulada, y la localizamos en la clase de morfismos cuyo cono está en una determinada subcategoría triangulada gruesa. En particular $D(A)$ se triangula. En general, las localizaciones de categorías pueden ser complicadas, y en la construcción de "un paso" ni siquiera es obvio que $D(A)$ es una categoría, es decir, que los morfismos de un objeto a otro forman un conjunto.

Para motivar por qué debemos preocuparnos por los triángulos, observe que no tiene sentido hablar de núcleos o imágenes de morfismos en $D(A)$ para que no podamos hablar de exactitud. Dado que queremos ser capaces de hacer álgebra homológica necesitamos algún tipo de sustituto para esto. Los triángulos, que codifican secuencias exactas cortas, resultan ser suficientes para desarrollar gran parte de la teoría, y a posteriori uno podría querer axiomatizar la teoría sólo en términos de triángulos. Una razón por la que podríamos esperar que la noción de "triángulo distinguido" sea realmente intrínseca a $D(A)$ (aunque la clase de triángulos distinguidos debe especificarse en los axiomas para una categoría triangulada) es que cualquier triángulo $$ X \to Y \to Z \stackrel{+1}\to$$ da lugar a una larga secuencia de grupos abelianos tras aplicar $[W,-]$ para cualquier objeto $W$ esta secuencia larga será una secuencia larga exacta cuando se distinga el triángulo, para cualquier $W$ Y es que se trata de una propiedad muy especial. Una observación es que hoy en día la gente le dirá que "estable $\infty$ -Las "categorías" son a todos los efectos mejores que las categorías trianguladas, y en una $\infty$ -la clase de los triángulos distinguidos hace no deben especificarse de antemano, por así decirlo: equivalente estable $\infty$ -categorías tendrán los mismos triángulos distinguidos.

Answer 2

Realmente parece que buscas intuición para las estructuras trianguladas en categorías derivadas de categorías abelianas, así que aquí va:
Los complejos de (co)cadena son como tipos de homotopía puntuales (abelianizados); los tipos de homotopía suelen encontrarse por primera vez en forma de espacios topológicos, por lo que es en la categoría $\mathbf{Top}_*$ de los espacios topológicos puntuales que nuestra historia comienza. Los tipos de homotopía puntiformes no se ordenan naturalmente en una categoría, sino en una $(\infty,1)$ -categoría (sólo escribiré $\infty$ -categoría); se trata de una generalización de la noción de categoría. Los datos dados por $\mathbf{Top}_*$ junto con la subcategoría de equivalencias débiles de homotopía determina completamente esta $\infty$ -de la categoría. (Conceptualmente, basta con invertir universalmente las equivalencias débiles de homotopía en el $\infty$ -categoría de $\infty$ -categorías; concretamente se podría considerar la localización simplicial).
Al igual que en las categorías ordinarias, puede definir límites y colímites en $\infty$ -categorías. Los límites y colímites en el $\infty$ -de tipos de homotopía (indexados por categorías pequeñas ordinarias) puede calcularse directamente en $\mathbf{Top}_*$ Se suele llamar a esta construcción un (co)límite de homotopía. Dado un mapa continuo $f: X \to Y$ entre espacios puntuales, el empuje homotópico de $f$ a lo largo del mapa único $X \to 0$ se llama cofibra de $f$ . Una construcción fácil de este colímite de homotopía viene dada por el cono de mapeo $C_f$ de $f$ . Ahora puede tomar la cofibra de $Y \to C_f$ para obtener el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>>> Y @>>> 0 \\ @VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>> C_f @>>> \Sigma X. \end{CD}$$ Como se indica en el diagrama vemos que "tomar la cofibra dos veces" de cualquier mapa continuo con dominio $X$ produce la suspensión de $X$ Esto se debe a que los empujes de homotopía componen, y la cofibra de $X \to 0$ es $\Sigma X$ . (Si esto es nuevo para ti, te recomiendo trabajar con algunos ejemplos, por ejemplo, en aquí .) Ahora podemos iterar la construcción de la cofibra de $f$ para obtener el secuencia de cofibras de $f$ .
Si aplicamos una determinada teoría cohomológica $\{H^n\}$ a esta secuencia de cofibras, obtenemos la secuencia $H^n(X) \leftarrow H^n(Y) \leftarrow H^n(C_f) \leftarrow H^{n-1}(X) \leftarrow \cdots$ . Si $X \to Y$ es una inclusión, entonces $H^i(C_f) \cong H^i(X,Y)$ . Vemos que las teorías de cohomología llevan las secuencias cofibradas a secuencias exactas largas; esto junto con caracteriza a las teorías de cohomología. También vemos que para $n > m$ podemos reconstruir $H^m$ de $H^n$ , por lo que se siente como si sólo hubiéramos tenido un que lleva las secuencias cofibradas a secuencias exactas largas de grupos abelianos. El principal problema es que no podemos invertir $\Sigma: \mathbf{Top}_* \to \mathbf{Top}_*$ . Si usted universalmente (en el $\infty$ -categórico) construyen una categoría a partir de $\mathbf{Top}_*$ en el que $\Sigma$ es invertible, se obtiene la categoría de espectros, y cualquier teoría de cohomología sobre espectros está efectivamente determinada por $H^0$ . Los espectros suelen considerarse una especie de tipos de homotopía "abelianizados".
Sin embargo, no vamos a considerar los espectros, sino algo similar pero mucho más sencillo: ¡los complejos de cadena! En primer lugar, toda la discusión anterior podría haber tenido lugar en la categoría $\mathbf{SSet}_*$ de conjuntos simpliciales puntuales. Esta categoría también tiene una subcategoría de equivalencias débiles, que para objetos agradables (complejos de Kan) se parecen exactamente a las equivalencias débiles de homotopía de los espacios topológicos. De nuevo, $\mathbf{SSet}_*$ junto con sus equivalencias débiles presenta el $\infty$ -de tipos homotópicos puntuales (esto se expresa típicamente por el hecho de que el functor complejo singular total $\mathrm{Tot:} \mathbf{Top}_* \to \mathbf{SSet}_*$ es parte de una equivalencia de Quillen). Dijimos que los espectros podían pensarse como tipos de homotopía "abelianizados"; en $\mathbf{SSet}_*$ hay una manera fácil de aproximarse a lo que se quiere decir con esto como sigue: Hay una adjunción libre de olvido $\underline{\;\;} \otimes \mathbb{Z}: \mathbf{SSet}_* \rightleftarrows \mathbf{SAb}:U$ entre conjuntos simpliciales puntuales y grupos abelianos simpliciales. Sea $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$ denotan la categoría complejos de cadenas de grupos abelianos concentrados en grado no negativo; entonces (una variante de) el functor que toma sumas alternas de mapas de caras da una equivalencia de categorías $\mathbf{SAb} \xrightarrow{\simeq} \mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$ . Esta es la equivalencia de Dold-Kan. Dado un grupo abeliano simplicial, entonces los grupos de homología de los complejos de cadenas asociados son canónicamente isomorfos a los grupos de homotopía de $X$ . (Obsérvese que podemos componer los tres funtores antes mencionados para obtener un functor $\mathbf{Top}_* \to \mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$ componiendo este functor con $n$ -la homología de lath sólo le da la $n$ -homología singular). Ahora vemos que los cuasi-isomorfismos corresponden exactamente a equivalencias débiles de homotopía de espacios. Además $\mathbf{Top}_* \to \mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$ lleva las homotopías entre mapas continuos a homotopías de complejos de cadenas.
De nuevo, los complejos de cadenas se organizan de forma natural en un $\infty$ -Esto está codificado por el hecho de que tenemos una subcategoría, esta vez los cuasi-isomorfismos, que queremos invertir. Incrustamos $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$ en la categoría $\mathbf{Ch}(\mathbf{Ab})$ de complejos de cadenas acotados o no acotados. Aquí podemos considerar de nuevo las secuencias de cofibras: Sea $f: X \to Y$ sea un mapa de complejos de cadenas, entonces la cofibra de $f$ puede construirse de nuevo utilizando el cono de mapeo, y tomando la cofibra dos veces en este caso se obtiene un complejo de cadena cuasi-isomorfo a $X[1]$ (De nuevo, $\mathbf{Top}_* \to \mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$ lleva la suspensión de un espacio a un complejo de cadena cuasi-isomorfo al desplazamiento del complejo de cadena asociado). Un funtor (co)homológico puede definirse entonces como un funtor co(-ntra-)variante de $\mathbf{Ch}(\mathbf{Ab})$ a los grupos abelianos llevando las secuencias cofibéricas a las secuencias exactas largas de los grupos abelianos. Sea $A$ sea un grupo abeliano, para construir ejemplos de funtores (co)homológicos correspondientes a la (co)homología ordinaria con coeficientes en $A$ , considere los functores $H_0 \circ \underline{\; \;}\otimes \mathbb{Z}$ y $H_0 \circ \mathrm{Hom}(\underline{\;\;},A)$ respectivamente.
¿Y qué pasa con las secuencias cortas y exactas de los complejos de cadenas? Resulta que si $f: X \to Y$ es un monomorfismo, entonces el cociente ordinario $Y/X$ ya es la cofibra de $f$ ¡! Las secuencias largas exactas $\cdots H^1(Y/X) \to H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Y/X) \to H^{-1}(X) \to \cdots$ utilizando el lema de la serpiente es (canónicamente) isomorfa a la secuencia $\cdots H^1(C_f) \to H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(C_f) \to H^{-1}(X) \to \cdots$ obtenida de la secuencia de cofibras.
Ahora, puede que hayas notado algo raro; no te he dicho dónde está el morfismo $H^1(C_f) \to H^0(X)$ de donde vino. Resulta que $\Sigma$ puede definirse en cualquier punto $\infty$ -(con límites y colímites finitos), y que exigir que este functor tenga un inverso es lo mismo que exigir que cualquier cuadrado conmutativo sea un cuadrado pushout si es un cuadrado pullback. Tal $\infty$ -las categorías se llaman estable $\infty$ -categorías. En tal $\infty$ -categoría cualquier morfismo $X \to Y$ puede extenderse en ambas direcciones, por secuencias de cofibras a la derecha y por secuencias de fibras a la izquierda.
Para llegar finalmente a la categoría triangulada de una categoría abeliana $\mathcal{A}$ observamos que a partir de cualquier $\infty$ -categoría $\mathcal{C}$ podemos construir universalmente una categoría ordinaria; la llamada categoría de homotopía $\mathrm{Ho}(\mathcal{C})$ de $\mathcal{C}$ . La categoría de homotopía de los estables $\infty$ -presentada por la categoría de complejos de (co)cadena en $\mathcal{A}$ (con cuasi-isomorfismos) es $D(\mathcal{A})$ . Cualquier morfismo $X \to Y$ en $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})$ es la entrada necesaria para construir una secuencia de cofibras (o ahora equivalentemente una secuencia de fibras), pero ya no podemos construir esta secuencia de cofibras, una vez que hemos descendido a $D(\mathcal{A})$ los datos de la estructura triangulada en $D(\mathcal{A})$ es exactamente lo que se necesita para retener esta información, y cómo se relacionan las diferentes secuencias de cofibras entre sí. De hecho, resulta que la categoría de homotopía de cualquier $\infty$ -admite canónicamente la estructura de una categoría triangulada. Ahora parece completamente natural que llamemos a aquellos funtores (co)homológicos que llevan a los triángulos distinguidos a secuencias exactas largas.
En cuanto a su pregunta precisa, cualquier morfismo en $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})$ puede ser sustituido por su cilindro de mapeo, que es un monomorfismo, por lo que cualquiera a morfismos adyacentes en una secuencia exacta larga puede ser presentado por una secuencia exacta corta de complejos de (co)cadena, por lo que los triángulos distinguidos en $D(\mathcal{A})$ todos provienen de secuencias cortas exactas. Es casi seguro que esto no es cierto en $K(\mathcal{A})$ pero no tengo en mente ningún contraejemplo en particular.

Answer 3

Esto no es una respuesta a su pregunta, pero creo que esta información le resultará útil:

Un triángulo en una categoría infinita estable viene dado por finamente muchos datos:

- Tres objetos: $A$ , $B$ , $C$ .

- Tres morfismos:
$f:A\to B$ ,
$g:B\to C$ ,
$h:C\to A[1]$

- Dos morfismos de 2:
$\alpha:0\to gf$
$\beta:kg \to 0$

La condición que deben cumplir estos objetos, morfismos y 2-morfismos es que el bucle $h\alpha\cup\beta f\in \Omega Hom(A,A[1])=Hom(A,A)$ (conocido como soporte Toda)
debe ser homotópico al elemento $id\in Hom(A,A)$ .

Una consecuencia muy agradable del hecho de que los triángulos puedan expresarse de la forma sencilla anterior es que cualquier functor entre categorías estables del infinito envía triángulos a triángulos.

En ese sentido, los triángulos en las categorías estables del infinito son bastante diferentes de las secuencias exactas cortas en las categorías abelianas.