Traducciones de conjuntos nulos

Question

¿Existe un conjunto nulo de reales$N$ de modo que cada conjunto nulo esté cubierto por innumerables traducciones de$N$?

Answer 1

Ciertamente que no. WLOG el conjunto $E$ es $G_\delta$. Ahora considere la posibilidad de abrir conjuntos de $E_j$ tal que $E=\bigcap_j E_j$ e $\sum_j|E_j|<+\infty$. Ahora mira a la constitución de los intervalos de todas las $E_j$. A continuación, vamos a obtener una secuencia fija de intervalos de $I_k$ de la longitud total $1$ de tal forma que cada conjunto de $F$ de la medida de Lebesgue $0$ pueden ser cubiertos por los cambios de los intervalos de con $k\ge n$ con $n$. Entonces, la elección de un indicador de la función$h$, de modo que $h(x)/x\to \infty$ as $x\to 0$ pero $\sum_k h(|I_k|)<+\infty$, vemos que debemos tener cada conjunto de medida de Lebesgue $0$ también de $h$-medida de Hausdorff $0$, lo cual es absurdo (Cantor tipo de construcción, o algo así).

Fresco problema! Lo voy a usar para el próximo teoría de la medida calificador :-).

Answer 2

Aquí hay una respuesta para el espacio de Cantor $C$, el conjunto de funciones de $\omega$ a $2$. El plan es mostrar que para cada conjunto null $X \subseteq C$ no es una medida $0$ establecer $C_{a} \subseteq C$ tal que $C_{a}$ es homeomórficos con $C$, y para cualquier traducir $X'$ de $X$, $X' \cap C_{a}$ es un conjunto null en la medida inducida por la por este homeomorphism. No he pensado acerca de si este puede ser el ejemplo convertida en uno de los reales reales.

Abierto básicos de conjuntos en el espacio de Cantor están representadas por funciones de $\sigma \colon n \to 2$, para algunos $n \in \omega$ donde $[\sigma]$ denota el conjunto de $f \in C$ tal que $\sigma \subseteq f$. Para cada una de las $\sigma$, la medida de $[\sigma]$, $\mu([\sigma])$, es $2^{-n}$. Dado un conjunto $a \subseteq \omega$, vamos a $C_{a}$ el conjunto de $f \in C$ tal que $f(n) = 0$ por cada $n \in a$. Si $a$ es infinito, $\mu(C_{a}) = 0$. Cada una de las $C_{a}$ es, naturalmente, homeomórficos a $C$, a través de la eliminación de las coordenadas en $a$. Este homeomorphism induce la medida de $\mu_{a}$ a $C_{a}$, donde, para $\sigma$ como en el anterior, $\mu_{a}([\sigma] \cap C_{a})$ es $2^{|n \cap a|}\mu([\sigma])$ (que es $2^{-|n \setminus a|}$) si $\sigma(m) = 0$ para todos los $m \in a \cap n$, e $0$ lo contrario.

Dado un conjunto null $X$, podemos arreglar para cada racional $r \in (0,1)$ una secuencia $\langle \sigma^{r}_{i} : i \in \omega \rangle$ tal que (1) cada una de las $\sigma^{r}_{i}$ es una función de algunos $s^{r}_{i} \in \omega$ a $2$ (2) $X \subseteq \bigcup_{i \in \omega} [\sigma^{r}_{i}]$ y (3) $\sum\{ 2^{-s^{r}_{i}} : i \in \omega\} < r$.

Para cualquier $a \subseteq \omega$, y cualquier traducir $X'$ de $X$, $\mu_{a}(X' \cap C_{a})$ es en la mayoría de los $$\sum\{ 2^{-|s^{r}_{i} \setminus a|} : i \in \omega \}.$$ It suffices then to find an infinite $a \subseteq \omega$ and a sequence $\langle r_{k} : k \in \omega \rangle$ of rationals from $(0,1)$ tal que la secuencia de valores $$\sum\{ 2^{-|s^{r_{k}}_{i} \setminus a|} : i \in \omega \}$$ goes to $0$.

Dada una secuencia $\bar{r} = \langle r_{k} : k \in \omega \rangle$ de los racionales en $(0,1)$, vamos a $a_{\bar{r}} \subseteq \omega$ (enumerados en orden creciente como $\langle a_{j} : j \in \omega \rangle$) tales que para cada una de las $j\in \omega$, y cada $k \leq j$, $$\sum\{ 2^{-s^{r_{k}}_{i}} : i \in \omega \setminus a_{j}\} < r_{k}/2^{2j}.$$ A continuación, para cada $k \in \omega$, $\sum\{ 2^{-|s^{r_{k}}_{i} \setminus a|} : i \in \omega \}$ es en la mayoría de los $$(2^{k}r_{k}) + \sum\{ (2^{j+1}r_{k})/2^{2j} : k \leq j < \omega\}$$ que es en la mayoría de las $2^{k+2}r_{k}$ (si he hecho los cálculos correctamente; el primer término viene de la consideración de los términos de $i < a_{k}$, el resto de $i \geq a_{k}$).

Entonces si elegimos la $r_{k}$'s de modo que $2^{k+2}r_{k}$ va a $0$, $C_{a_{\bar{r}}}$ es el deseado null conjunto.