Decimos que dos topologías $\tau$ e $\rho$ a $X$ son similares si el conjunto de funciones continuas $f:(X,\tau) \rightarrow (X,\tau)$ es el mismo que el conjunto de funciones continuas $f:(X,\rho)\rightarrow (X,\rho)$.
¿Existe una topología $\tau$ que es similar a la topología euclidiana sobre $\mathbb R$?
Este fue preguntado aquí , pero no hemos podido probar es que el $\tau$ debe ser un refinamiento de la topología euclidiana.
Saludos.
La única topología similar a la topología Euclidiana sobre $\mathbb{R}$ es la topología Euclidiana.
Supongamos que existe una topología $\tau$. Voy a usar "abierto", "continuo", etc. para decir con respecto a la topología Euclidiana y "$\tau$-abierto", etc. para $\tau$.
Desde $\tau$ es un refinamiento de la topología Euclidiana, existe un punto (sin pérdida de generalidad $0$) y un $\tau$-abrir vecindario $U$ que no contiene cualquier intervalo abierto que contenga $0$. A continuación, hay una secuencia $x_i$ en el complemento de $U$ convergentes a $0$. Para la comodidad de elegir un monótono subsequence $y_i$, sin pérdida de generalidad positivo, y supongamos $y_1=1$.
Ahora considere la función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que fija el complemento de $(0,1)$, lleva a $[\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}]$ a $y_n$, y la toma de $[\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}]$ a $[y_{n+1},y_n]$ lineal. Esta función es continua, por lo tanto $\tau$-continuo.
A continuación, la preimagen de $(-1,1)\cap U$ es $\tau$-abrir subconjunto $V$ de % de $(-1,0] \cup \bigcup_n (\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n})$ que contiene $0$.
Hay un homeomorphism (por tanto un $\tau$-homeomorphism) $\phi$ de % de $\mathbb{R}$ que fija el complemento de $(0,2)$, lleva a $[1,2]$ a $[\frac{1}{2},2]$ lineal, y la toma de $[\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}]$ a $[\frac{1}{k+2},\frac{1}{k+1}]$ lineal.
A continuación, $\phi(V)\cap V$ es $\tau$-abrir subconjunto de $(-1,0]$ contiene $0$.
Pero, a continuación, $(-\infty,0]$ es $\tau$-abierto, por lo que el $\mathbb{R}$ no $\tau$-conectado, una contradicción desde entonces hay un $\tau$-mapa continuo envío de $(-\infty,0]$ a un punto y $(0,\infty)$ a otro.
Este es un caso especial de resultados mucho más generales encuestados en el libro MR0393330 Magill, KD, Jr. Una encuesta de semigrupos de mapas automáticos continuos. Semigroup Forum 11 (1975/76), no. 3, 189–282.
Por ejemplo, el Teorema 2.3 de este libro dice que solo la estructura abstracta del semigrupo (con respecto a la composición) del conjunto de mapas continuos es suficiente para recuperar la topología.
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