¿Cuándo debemos esperar a Tracy-Widom?

Question

La ley de Tracy-Widom describe, entre otras cosas, las fluctuaciones de los valores propios máximos de muchos modelos de matrices grandes aleatorias. Debido a su carácter universal, obtuvo su posición en el podio de leyes muy famosas en la teoría de la probabilidad. Me gustaría discutir cuáles son los ingredientes que deben estar presentes para esperar su aparición.

Más precisamente, la ley de Tracy-Widom tiene para la distribución acumulativa el determinante de Fredholm $$F(s)=\det(I-A_s)$$ donde el operador $A_s$ actúa sobre $L^2(s,+\infty)$ por $$A_sf(x)=\int A(x,y)f(y)dy,\qquad A(x,y)=\frac{Ai(x)Ai'(y)-Ai(y)Ai'(x)}{x-y},$$ $Ai$ siendo la función Airy. Además, es posible reescribir $F$ en una forma más explícita (?), que implica una solución de la ecuación de Painlevé II. Se sabe que esta distribución describe las fluctuaciones del valor máximo de la GUE, y en realidad de una gran clase de matrices de Wigner. Curiosamente también aparece en muchos procesos de partículas interactivas, como ASEP, TASEP, la subsecuencia creciente más larga de permutaciones uniformemente aleatorias, modelos de crecimiento polinuclear... (Para una introducción, véase http://arxiv.org/abs/math-ph/0603038 y referencias en el interior. Puede saltar a (30) si tiene prisa, y leer más sobre los modelos de partículas en la sección 3). Una pregunta natural (pero ambiciosa) es

• Usted tiene $N$ puntos aleatorios que interactúan $(x_1,\ldots,x_N)$ en $\mathbb{R}$ ¿Cuándo se puede predecir que $x_{\max}^{(N)}=\max_{i=1}^N x_i$ fluctuará (hasta un reescalado) según la ley de Tracy-Widom alrededor de su gran $N$ ¿valor límite?

Supongamos que la distribución límite del $x_i$ 's $$\mu(dx)=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\delta_{x_i}\qquad \mbox{(in the weak topology)}$$ admite una densidad $f$ en un soporte compacto $S(\mu)$ , y nota $x_\max=\max S(\mu)$ (que se puede asumir como positivo por la traducción). Tengo la impresión de que una condición necesaria para la aparición de Tracy-Widom es satisfacer los tres puntos siguientes :

1) (repulsión fuerte) Existe una fuerte repulsión entre el $x_i$ (normalmente, la densidad conjunta del $x_i$ tiene un término como $\prod_{i\neq j}|x_i-x_j|$ o al menos el $x_i$ forman un proceso puntual determinante).

2) (no hay salto para $x_\max^{(N)}$ ) $x_\max^{(N)}\rightarrow x_\max$ a.s. cuando $N\rightarrow\infty$ .

3) (borde suave) La densidad de $\mu$ se desvanece como una raíz cuadrada alrededor de $x_\max$ es decir $f(x)\sim (x_\max-x)^{1/2}$ cuando $x\rightarrow x_\max$ .

Para los modelos TASEP y de la subsecuencia más larga creciente, se puede ver que 1), 2) y 3) se mantienen [ya que estos modelos son de alguna manera discretizaciones de modelos de matrices aleatorias en los que todo es explícito (Wishart y GUE respectivamente)]. Para las matrices de Wigner, 2) y 3) se mantienen claramente [ley semicircular de Wigner], y supongo que 1) está bien [debido a la ley semicircular local]. Para ASEP, 1) se mantiene claramente [debido a la E de ASEP], 2) y 3) no están tan claras para mí, pero suenan razonables.

• ¿Conoce algún modelo de partículas interactivas en el que se mantenga la Tracy-Widom pero en el que se viole cruelmente uno de los puntos anteriores?

Por supuesto, la condición 1) es bastante vaga, y merecería ser definida con precisión. ¡Es una parte de la pregunta!

NB : Tengo una formación física bastante débil, así que si por casualidad un físico se perdió en MO, me encantaría escuchar sus criterios de Tracy-Widom...

Answer 1

Descargo de responsabilidad - Hace poco que conocí esta ley tras asistir a una clase sobre la teoría de las matrices aleatorias. Y no soy físico, sino que estudio informática. Por lo tanto, no pretendo conocer o entender los detalles de su pregunta. Sin embargo, responderé a su pregunta original, "¿Cuándo debemos esperar la ley de Tracy-Widom?" y, "¿Cuáles son los ingredientes que deben estar presentes para esperar su aparición?" Así que, por favor, discúlpeme si mi respuesta no está a la altura de lo que usted esperaba.

Como mejor lo entiendo, la ley Tracy-Widom (TW) es conveniente entenderla junto con la ley Marcenko-Pastur (MP). La ley MP da un límite para el histograma de los valores propios de una matriz aleatoria. También es una de las distribuciones universales. Su aspecto es el siguiente:

Como se puede ver, el valor propio máximo está acotado. Sin embargo, si la matriz no es verdaderamente aleatoria, como por ejemplo en los rendimientos de los precios de las acciones, es decir, cuando hay alguna correlación entre las diferentes acciones, entonces hay algunos valores propios que van más allá del límite dado por la ley MP, como se muestra en mi simulación MATLAB a continuación:

El primer gráfico muestra todos los valores propios, incluido el valor propio máximo que está muy a la derecha. El segundo gráfico elimina ese valor propio máximo y aún así podemos ver algunos valores propios más allá del límite de la ley MP.

El significado de esto se entiende de la siguiente manera: cualquiera que sea la acción de la que procede el valor propio aislado, el valor propio máximo, está muy, muy fuertemente correlacionado con todas las demás acciones.

De todos modos, aquí viene la ley Tracy-Widom. La ley TW puede considerarse como la probabilidad de que el valor propio máximo se encuentre dentro del límite de la ley MP. Si observamos su gráfico, tiene una cola pesada hacia la derecha, lo que significa que la probabilidad de que el valor propio máximo esté más a la derecha del límite de la ley MP se vuelve cada vez menor a medida que seguimos avanzando hacia la derecha, casi nula más allá de un punto.

¿Cuál es el significado de todo esto? Bueno, sabemos que la ley de MP y la ley de TW sólo se aplican a las matrices aleatorias. Por lo tanto, si hay alguna desviación significativa para una matriz, significa que la matriz en cuestión no es en realidad una matriz aleatoria como el de los rendimientos de las acciones que se muestra arriba. Esto es útil ya que la hipótesis nula es asumir que no hay correlaciones entre los vectores aleatorios, como se creía para los precios de las diferentes acciones, hasta que la gente comenzó a hacer estos análisis espectrales discutidos aquí para la matriz de covarianza (y correlación) de los rendimientos de las acciones, y la hipótesis nula fue rechazada sobre la base de estas pruebas. Así, la desviación de estas leyes sugiere alguna estructura, algún patrón en los datos. Soy consciente de que esto se utiliza, aparte de la ingeniería financiera, en la búsqueda de patrones en las mutaciones genéticas, entre otros.

En resumen, deberíamos esperar Tracy-Widom para matrices verdaderamente aleatorias, es decir, construidas a partir de mediciones de vectores aleatorios, sin correlaciones. Así, "los ingredientes que deben estar presentes para esperar su aparición" son verdadera aleatoriedad . Si hay alguna correlación entre los vectores aleatorios, entonces habrá alguna desviación "proporcional" de la ley.