El polinomio de Jones en valores específicos de$t$

Question

He estado calculando algunos Jones polinomios últimamente y quería saber si había una "física" (o, más bien, geométrica) significado para evaluar el polinomio de Jones en un determinado valor de $t$.

Por ejemplo, si tomo el polinomio de Jones para el (derecho) nudo de Trébol, he

$J(t) = t + t^3 - t^4$.

Hay alguna manera en la que puedo interpretar $J(0)$? $J(1)$?

Entiendo que el polinomio de Jones es un polinomio de laurent, así que no esperes $J(0)$ a sentido para una gran cantidad de nudos (por ejemplo, el de la izquierda de trébol ha $J(t) = t^{-1} + t^{-3} - t^{-4}$), pero pensé que valía la pena preguntar.

También sé que $J(t^{-1})$ da el polinomio de Jones de la imagen en el espejo nudo. Es allí una manera de interpretar $J(-t)$? $J(t^2)$? Cómo acerca de $J(t) = 0$?

Editar para aclarar lo que quiero decir cuando digo "sentido físico": Desde el polinomio de Jones es un enlace invariante, $J(0)$ es también una relación invariante (si es que existe). ¿Esta invariante corresponde a una propiedad del nudo que se puede visualizar, tales como, por ejemplo, la vinculación de número o el cruce de número?

Answer 1

La evaluación del polinomio de Jones en $e^{i\pi/3}$ está relacionado con el número de 3-colorantes $tri(K)$ de % de $K$ (ver también aquí) así como a la topología de los aminoácidos de doble cubierta de la $\Sigma(K)$:

$$tri(K) = 3\left|V^2_K(e^{i\pi/3})\right| = 3^{\dim H_1(\Sigma(K);\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})+1}$$

Esto fue demostrado por Przytycki en este documento (Teorema 1.13) y Lickorish-Mijo aquí. No sé si es similar relaciones más generales Fox coloraciones.

Esto no es realmente una respuesta a las preguntas puntuales que usted está pidiendo, pero es un resultado bonito.

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ACTUALIZACIÓN (Aug 19, 2014): he encontrado más referencias y más información en esta lista de problemas: la tercera observación en la página 383 (página 11 de la PDF) cubre lo que fue conocido en 2004. En particular, se dice que la computación $V_K(\omega)$ es $\#P$-duro (véase Neil Hoffman comentario de abajo), a menos que $\omega$ es una potencia de $e^{i\pi/3}$ o $\omega = \pm i$, y se da la interpretación de $V_K(\omega)$ en los cuatro casos restantes (los dos primeros han sido mencionados por Jim Conant en los comentarios de arriba). Si $L$ es un enlace, voy a llamar a $\ell$ el número de componentes, y $\Sigma(L)$ el doble de la cubierta de $S^3$ ramificados sobre todos los componentes de $L$.

• $V_L(1) = (-2)^{\ell - 1}$; la de un nudo, $V_K(1) = 1$;
• $\left|V_L(-1)\right| = \left|H_1(\Sigma(L))\right|$ si $H_1(\Sigma(L))$ es de torsión, y es 0 en caso contrario; por un nudo, $\left|V_K(-1)\right| = \left|\det(K)\right|$;
• $V_L(i) = (-\sqrt2)^{\ell-1}(-1)^{\mathrm{Arf}(L)}$ si $L$ es un adecuado enlace (es decir, ${\rm lk}(K,L\setminus K)$ es incluso para cada componente de $K$ de % de$L$), y desaparece de otra manera (Murakami); observe que el Arf invariante se define sólo para los enlaces apropiados.
• $V_L(e^{2i\pi/3}) = 1$.

Answer 2

El volumen de la conjetura predice la existencia del límite de una cierta normalización de) el color Jones polinomios evaluados en las raíces de la unidad (que no se sabe que existe), y que este límite es igual a la hiperbólica volumen del nudo de complemento. Este volumen está definida de forma única y, en cierto sentido, es una "física" de la cantidad.

(Nota: Esto no literalmente responder a la pregunta, ya que la respuesta se generaliza: "polinomio de Jones" a "de color polinomio de Jones.")