¿Qué le ocurrirá a una bola mantenida en un plano inclinado sin fricción?

Question

Me preguntaba sobre esta cuestión ya que aprendí sobre el movimiento de rodadura en el capítulo sobre mecánica de rotación. No pude llegar a una conclusión sólida debido a las razones mencionadas a continuación.

El siguiente diagrama muestra una bola en un plano inclinado sin fricción y las fuerzas que actúan sobre ella:

Las fuerzas que actúan sobre el balón se muestran en rojo y son la fuerza normal de contacto $N$ y la fuerza de atracción gravitatoria $mg$ . Determiné cualitativamente el par de estas fuerzas en torno a dos ejes: uno que pasa por el centro de masa de la bola de densidad uniforme, y otro que pasa por el punto de contacto de la bola y el plano inclinado. Ambos ejes son perpendiculares a la pantalla.

Cuando el eje pasa por el centro de la bola, el par ejercido por $mg$ es cero cuando su línea de acción se encuentra con el eje. Además, el par ejercido por $N$ también es cero debido a la misma razón. No hay otras fuerzas. Por lo tanto, el par neto sobre este eje es cero, y esto nos lleva a concluir que la bola se desliza por el plano inclinado.

Cuando el eje pasa por el punto de contacto, el par ejercido por $N$ es cero pero el par ejercido por $mg$ es distinto de cero. Esto significa que la bola debe rodar, es decir, que gira mientras se desplaza por el plano inclinado. Esta conclusión es contradictoria con el caso anterior.

Entonces, ¿qué ocurrirá exactamente con una bola mantenida en un plano inclinado sin fricción: se deslizará o rodará?

El siguiente diagrama es una interpretación visual de mi pregunta (si los términos deslizar y rodar confunden al lector) donde la flecha roja denota la orientación de la bola:

Imagen de cortesía: Mi propio trabajo :)

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Tenga en cuenta: La pregunta - Bola rodando por un plano inclinado - ¿De dónde viene el par motor? discute el caso de la bola que rueda en un plano inclinado donde la fricción está presente . Ya que la pregunta - Rodar en un plano inclinado suave está marcada como duplicado de la anterior, y no tiene suficientes detalles, pensaba hacer una nueva pregunta con información adicional.

Answer 1

...el par ejercido por $N$ es cero pero el par ejercido por $mg$ es distinto de cero. Esto significa que la pelota debe rodar...

En realidad, significa que el momento angular alrededor de ese eje debe aumentar. Eso no es lo mismo que rodar. Si el eje pasa por el centro de masa del objeto, la única manera de que el momento angular aumente es rodando. Sin embargo, si el eje no pasa por el centro de masa entonces también hay momento angular debido al movimiento lineal. En otras situaciones esta es la diferencia entre el momento angular orbital y el momento angular de giro. Así que vamos a calcular el momento angular "orbital" en este problema.

El par motor es $m g R \sin(\theta)$ donde $R$ es el radio de la bola y $\theta$ es el ángulo de inclinación.

La magnitud del momento angular "orbital" viene dada por $R m v$ donde $v$ es la velocidad lineal del centro de masa, por lo que su derivada temporal es $R m a$ donde $a$ es la aceleración lineal del centro de masa.

A partir de las leyes de Newton, la aceleración lineal es la componente de la gravedad que baja por la pendiente. Esta es $ma=mg \sin(\theta)$ así que $a=g \sin(\theta)$ .

Sustituyendo la aceleración lineal en la derivada temporal del momento angular orbital se obtiene $R m g \sin(\theta)$ que es igual al par. Esto significa que el aumento del momento angular debido al par de torsión se explica totalmente por el aumento del momento angular "orbital" y no queda ningún par de torsión para aumentar el momento angular "de giro". Por lo tanto, la bola no gira/rodará independientemente del eje que se examine.

Answer 2

Entonces, ¿qué sucederá exactamente con una bola mantenida en un plano inclinado sin fricción plano inclinado sin fricción: ¿deslizará o rodará?

Sin fricción significa que la superficie de la pendiente no puede ejercer ningún par de torsión sobre la bola. Por la segunda ley de Newton, eso significa que el estado de rotación de la bola permanece inalterado, concretamente:

• si la bola giraba a velocidad angular $\omega$ entonces simplemente continuará haciéndolo: $\frac{\text{d}\omega}{\text{d}t}=0$ .
• si la pelota no estuviera girando en absoluto ( $\omega=0$ ) entonces el deslizamiento por la pendiente sin fricción no alterará $\omega$ . De nuevo $\frac{\text{d}\omega}{\text{d}t}=0$ .

Para que se produzca cualquier cambio en el estado de rotación, un par $\tau$ tiene que actuar sobre la pelota, para que:

$$\tau=N\mu$$

pero con $\mu=0$ , $\tau$ es siempre $0$ .

Answer 3

para ver lo que pasó, vamos a ver las ecuaciones del movimiento:

$$m\,\ddot{s}+F_c-m\,g\sin(\alpha)=0\tag 1$$ $$I_b\,\ddot{\varphi}-F_c\,R=0\tag 2$$

Caso I: La pelota rueda sin resbalar:

$$\ddot{s}=R\ddot{\varphi}\tag 3$$

tienes tres ecuaciones para tres incógnitas $\ddot{s}\,,\ddot{\varphi}\,,F_c$

se obtiene:

$$\ddot{\varphi}=\frac{m\,g\,\sin(\alpha)\,R}{m\,R^2+I_b}$$ $$\ddot{s}=R\ddot{\varphi}$$ $$F_c=\frac{I_b\,m\,g\,\sin(\alpha)}{m\,R^2+I_b}$$

caso II: la bola se desliza :

Este es tu caso, porque no tienes la fuerza de contacto $F_c$ .

en este caso la fuerza de contacto $F_c$ es igual a cero.

$$m\,\ddot{s}=m\,g\sin(\alpha)$$ $$I_b\,\ddot{\varphi}=0\quad \Rightarrow \varphi=0$$

caso III: la pelota está rodando :

en lugar de la ecuación (3) se tiene ahora la ecuación para una fuerza de fricción

$$F_c=\mu\,N=\mu\,m\,g\,\cos(\alpha)$$

se obtiene:

$$\ddot{s}=g(\sin(\alpha)-\mu\,\cos(\alpha))$$

$$\ddot{\varphi}=\frac{\mu\,m\,g\,\cos(\alpha)\,R}{I_b}$$

por lo que si $\mu=0$ la pelota se desliza este es el caso II

Answer 4

La pelota se deslizará. Tu error fue elegir un "eje acelerador" (El punto de contacto por el que pasa el eje está acelerando). Ten en cuenta que sólo puedes formar la ecuación de par sobre el eje que está inmóvil o que se traslada con velocidad constante.

La belleza del centro de masa es que la ecuación de par puede aplicarse a un eje que pasa por el C.O.M. independientemente de si ese eje está acelerando o no. (Por eso el C.O.M es la opción más popular para aplicar la ecuación de par). Esta propiedad sólo es cierta para el centro de masa. (Deberías intentar demostrarlo)

Para obtener las ecuaciones correctas debes aplicar pseudofuerzas en todas las partículas del cuerpo rígido (¡pruébalo!). A continuación, debes encontrar el par debido a la pseudofuerza aplicada (yo lo llamo "pseudopar").

Es muy fácil demostrar (lo dejaré como ejercicio) que el par debido a todas las pseudofuerzas se puede obtener considerando la pseudofuerza que actúa sola en el Centro de Masa del cuerpo rígido.

EDIT: Significado del eje de aceleración: Imagina las partículas del cuerpo rígido por el que pasa el eje de rotación. Entonces las partículas del cuerpo rígido por el que pasa el eje pueden acelerar llevándose el eje con ellas.

La aceleración del eje es la misma que la de las partículas que atraviesa el eje.

Imagínese sentado en el eje móvil (más precisamente, adjunte un marco de traslación al eje móvil), una propiedad asombrosa del cuerpo rígido es que usted observará todo el cuerpo girando alrededor de ese eje y la velocidad angular de rotación será la misma para todo el conjunto de puntos a través de los cuales usted eligió perforar su eje de rotación.

Answer 5

Creo que gran parte de la confusión proviene de la falsa noción de que un momento [o par de torsión, utilizo estas palabras como sinónimos, compare Momento (Física) ] puede tener un eje o un lugar. En la mecánica clásica, dicho par se asocia a cualquier cuerpo rígido, en lugar de a un lugar específico de ese cuerpo.

Método estricto

Por lo general, se corta el cuerpo rígido libre de su entorno, introduciendo así las fuerzas de frontera que actúan sobre él, además de las fuerzas de volumen que resultan de un campo de fuerza como la gravedad, y los posibles pares que se aplican externamente.

Entonces, para determinar el cambio de movimiento del cuerpo, separarías las fuerzas de los pares desplazando las fuerzas perpendiculares a su línea de efecto, de manera que todas ellas afecten finalmente al centro de masa (CdM) del cuerpo. Para cada fuerza desplazada, tendrás que introducir un par de desplazamiento compensatorio: mientras que mover una fuerza a lo largo de su línea de efecto no tiene implicaciones físicas, moverla en cualquier otra dirección sí las tiene.

Una vez que hayas terminado de desplazar todas las fuerzas al CdM del cuerpo, sumarás todas las fuerzas para obtener la fuerza total que actúa sobre el CdM del cuerpo. De la misma manera, sumarás todos los pares de desplazamiento y cualquier par que se aplique externamente, y el resultado será el par total que afecta al cuerpo. Puedes denotar tu par con una flecha circular en cualquier parte de tu diagrama, no importa dónde la pongas.

Aplicando esto a tu ejemplo, ya has terminado con el primer diagrama: Las líneas de efecto de todas las fuerzas se cruzan en el centro de la bola. No hay nada que hacer, y el par motor es cero. La bola se deslizará.

Intuición

Es contrario a la intuición aceptar que una cantidad de par aplicada en un lugar debería tener el mismo efecto en un cuerpo rígido que la misma cantidad de par aplicada en otro lugar del mismo cuerpo: La intuición dicta que el cuerpo debería empezar a girar alrededor del eje donde se aplica el par.

Sin embargo, esto sólo es cierto si dicho eje está en el CdM del cuerpo. Un cuerpo siempre y sólo girará en torno a su CdM si no se aplica ninguna otra fuerza.

Piensa en una rueda con un eje que no está en el centro, sino, digamos, ligeramente desviado. Si suspendes este eje en un marco fijo y rígido y luego aplicas un par de torsión, la rueda empezará sin duda a girar alrededor del eje, y el CdM de la rueda también girará alrededor del eje. Sin embargo, su suspensión experimentará y ejercerá consecuentemente una fuerza sobre el eje, girando a la misma velocidad que la rueda. Esto se llama excentricidad. Ahora imagine que de repente se suelta la rueda. Continuará moviéndose con la velocidad momentánea de su CoM y seguirá girando alrededor de su CoM, que no está en el eje. Por lo tanto, tendrá una rueda voladora, generalmente en una curva parabólica y su eje girará alrededor de su CoM. Nótese que la rueda ya no girará alrededor de dicho eje, porque al desaparecer la suspensión, no queda nada que le aplique ninguna fuerza.