¿Para qué mapas$S^1\to S^1$ se define el número de bobinado?

Question

Hay dos clases de mapas de $S^1\to S^1$ por lo que yo sé cómo definir la liquidación número:

• Continua mapas:
Mediante el único camino de elevación de la propiedad de el universal que cubre mapa de $\mathbb R\to S^1$, cualquier mapa continuo $\gamma:S^1\to S^1$ puede ser elevada a una ruta de $\tilde\gamma:[0,1]\to \mathbb R$. La liquidación número de $\gamma$ se define por la fórmula $$W(\gamma)=\tilde \gamma(1)-\tilde \gamma(0).$$

• Sobolev-1/2 mapas:
Si vemos un mapa de $\gamma:S^1 \to S^1$ como un caso especial de la función $S^1\to \mathbb C$, entonces el devanado número es la expresión algebraica de la zona (estoy omitiendo todos los factores de $\pi$ aquí) encerrados en $\gamma$. Por Stokes teorema, esta es la integral sobre $S^1$ de la 1-forma $\gamma^*(-ydx+xdy)$. El último es claramente cuadrática en $\gamma$. Si $\gamma=\sum_{n\in \mathbb Z}\gamma_nz^n$ es la serie de Fourier de $\gamma$, entonces cada uno de los bucles $z\mapsto \gamma_nz^n$ encierra un área de $n|\gamma_n|^2$ y la cruz-términos que no te aportan nada. Por lo tanto, se obtiene la fórmula $$W(\gamma)=\sum_{n\in \mathbb Z}n|\gamma_n|^2.$$ En este punto, cabe recordar que la $\sum_{n\in \mathbb Z}|n+1||\gamma_n|^2$ es la definición de (la plaza de) la Sobolev-1/2 norma de $\gamma$. Por lo tanto, $\gamma$ tener finito Sobolev-1/2 norma es la obvia condición de dicha suma, a converger.

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Ahora, es bien conocido que $$\{\text{Continua}\} \quad\no\subseteq\quad \{\text{Sobolev-}1/2\}$$ y $$\{\text{Sobolev-}1/2\} \quad\no\subseteq\quad \{\text{Continua}\}.$$ Por lo tanto mi pregunta:

Hay una razonable clase de mapas de $S^1\to S^1$ que contiene tanto la continua mapas y Sobolev-1/2 mapas, y en el que la liquidación número tiene sentido?

Answer 1

Una clase de mapas que incluye tanto continuo como$H^{1/2}$, donde hay una extensión disponible, es Vanishing Mean Oscillation , VMO . Esto ha sido tratado por varios autores comenzando, creo, con Haïm Brezis. Puede encontrar bastante "teoría de grado para google mapas" en Google.