Cada algebraicamente cerrado campo contiene el campo de los números complejos? Muchas gracias.
Respuestas
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No. El campo de los números complejos tiene características de las $0$. Cada campo de $F$ ha algebraica de cierre, el cual debe tener la misma característica como $F$. Por lo que cualquier algebraicas cierre de un campo de no-cero característica no puede contener ningún isomorfo copia de el campo de los números complejos. En particular, la clausura algebraica de $\mathbb Z_2$ no contiene ningún isomorfo copia de el campo de los números complejos.
Incluso la clausura algebraica de un campo de característica $0$ no necesita contener una isomorfo copia de $\mathbb C$. Por ejemplo, la clausura algebraica de $\mathbb Q$.
Paul
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34
Un algebraicamente cerrado campo de $K$ contiene un subcuerpo isomorfo al campo de los números complejos si y sólo si $K$ tiene características de las $0$ y la trascendencia grado de $K/\mathbb{Q}$ es mayor o igual a la trascendencia grado de $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$. Esto es una consecuencia de Steinitz clasificación de algebraicamente cerrado campos.
Oli
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89
El siguiente es cerca de una positiva respuesta a su pregunta.
Deje $\kappa$ ser cualquier innumerables cardenal. A continuación, cualquiera de los dos algebraicamente cerrado campos de la característica $0$ y cardinalidad $\kappa$ son isomorfos.
En particular, cualquier algebraicamente cerrado campos de la característica $0$ y cardinalidad $c$ (el continuo) es isomorfo a los números complejos.
Y cualquier algebraicamente cerrado campo de la característica $0$ que es lo suficientemente grande (cardinalidad $\ge c$) contiene una copia de los números complejos.
Tenga en cuenta que tenemos $\kappa$ a ser innumerables. Hay no isomorfos contables algebraicamente cerrado campos de la característica $0$.
Pero cualquier algebraicamente cerrado campo de la característica $0$ contiene una isomorfo copia de el campo de los números algebraicos.
Naturalmente, si el campo $K$ tiene características de las $p\ne 0$, no puede ser una incrustación de $\mathbb{C}$$K$. Y hay algebraicamente cerrado campos de la característica $p$ y cardinalidad $\kappa$ por cada prime $p$ y cada una de las infinitas cardenal $\kappa$.
