¿Existe una oportunidad en el billar de bolsillo ideal?

Question

Supongamos que usted tiene un tiro con la bola de billar de bolsillo (un.k.una. la piscina), con el juego idealizado en el que no hay vuelta es colocado sobre la bola en el tiro inicial, todas las colisiones entre las bolas de billar, bolas y con los cojines, son perfectamente elásticas, y no es arbitrariamente pequeño de fieltro balanceo de la bola de la fricción, de modo que reflexiones pueden ser asumidas para continuar tan largo como sea necesario.

Q1. Hay siempre un poco de dirección en el que disparar a la bola para que algunos balón entra en un bolsillo (es hundido), y aunque otras pelotas también puede de ser hundido, la bola en sí no es (así que no es cero)?

Mi sensación es que la respuesta debe ser 'Sí', porque irracionalmente en ángulo rutas visitan bolsillos. Pero la presencia de hasta 15 bolas, y el requisito de que el cue la pelota no se rasca, parece dejar abierta la posibilidad de que no es una configuración inicial de las bolas que frustra cada oportunidad posible. Podría ser necesario asumir que la bola está en un principio no se tocar cualquier otra bola?

Otras dos variaciones:

Q2. Hay siempre un tiro a hundir la pelota $B^*$?

Q3. Hay siempre un tiro a hundir la pelota $B^*$ y ninguna otra pelota?

El último podría ser demasiado fuerte, como todos los seis bolsillos podría ser "protegidos" por los no-$B^*$ bolas.

Answer 1

¿Y el siguiente? Se sugiere que la respuesta a Q1 es no.

El 2,15,6,9 y cueball están en una fila horizontal y tocar (o muy cerca de tocar). El 14 de cueball y 4 en una fila vertical y (casi) de tocar.

Cuando el cueball es golpeado, uno o ambos de los siguientes va a pasar (dependiendo de la dirección que el cueball es golpeado).

• El cueball se mueve horizontalmente hacia la derecha.
• El 4 se mueve verticalmente hacia abajo, golpeando la bola 8, la cual se desplaza hacia abajo de la tabla, fuera de la parte inferior del cojín y el respaldo de la mesa, de la izquierda cojín y golpea el 15 de frente y ligeramente a la izquierda (el ángulo en mi ilustración es, probablemente, no se precisa, sin embargo). El 8 y 15 de volver a bajar de la mesa, mientras que el cueball es eliminado de forma horizontal a la derecha, junto con el 9 y, posiblemente, el 6.

En cualquier caso, el blanco debe ir en la esquina de bolsillo fuera de la 3.

[Edit: El diseño ha sido modificado desde la revisión inicial, pero sigue siendo la misma idea.]

Tenemos que tener cuidado aquí y comprobar que algo no intencionado de que no suceda, como el 8,15 o 4 va en un bolsillo antes de que el blanco. Esto parece poco probable y, en cualquier caso, podemos poner balones adicionales en la tabla de bloquear su camino si es necesario.

Todavía hay un problema, aunque. Si el cueball es golpeado en un ángulo específico, el blanco va a comenzar a moverse horizontalmente hacia el 3 y el 9 se seguirá poco después. ¿Qué sucede si, justo después de la cueball desvía fuera el 3, el 9 capturas y la golpea? Tal vez esto es suficiente para desviar lejos de el bolsillo? No estoy seguro acerca de esto. Tal vez el programa de instalación puede ser simplificado un poco.

[La piscina de la tabla anterior se ha copiado de Wikimedia commons]

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He aquí un simple ejemplo. La bola blanca es restringido por la esquina superior derecha de bolsillo. Todo lo que puedes hacer es golpear directamente en el bolsillo o en contra de los 7 o 14. Si el 7 es golpeado, se rueda a lo largo de la parte superior del cojín en el 3, que rebota en el izquierdo de la almohadilla en el 12, que rueda hacia hacia la esquina superior derecha, quedándose con el blanco. Del mismo modo, golpeando el 14 tocará a los 9 hacia la parte inferior del cojín y el respaldo a las 8, en el que de nuevo los bolsillos de los blancos.

Answer 2

Esta no es la respuesta que busca, pero déjeme observar simplemente que si permite bolas adicionales y si el ancho de la mesa es un número entero de bolas en cada dirección, entonces podemos imaginar un patrón cruzado con la bola blanca en la intersección.

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|OOOOOOOOOCOOOOOOOO|
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(         O        )
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Bajo sus interacciones físicas idealizadas, parece que la bola blanca no puede moverse, ya que las fuerzas que actúan sobre las otras bolas son todas transversales.

Probablemente uno también puede imaginar otros arreglos muy llenos.

Answer 3

Creo que la respuesta a Q1 es "no" si permitimos que el problema generalizado lo suficiente, (por ejemplo, nos permiten bolsillos grandes y pequeñas bolas), incluso si no hay bolas de tocar en la configuración inicial. Considere el siguiente "mesa de billar": toda la pared rectangular consta de "bolsillo" a excepción de un solo punto en el punto medio de uno de los muros.

Ahora coloque una bola roja en el centro de la plaza, y colocar la bola en la línea que conecta la pelota y el "muro punto," en el lado opuesto de la pelota desde el "punto de la pared."

Entonces tenemos la oportunidad de rebote, como el rojo de la bola de bloques de la señal del camino hacia el "punto de la pared." Así que debe golpear la bola roja inmediatamente, pero es fácil ver que para las bolas de pequeño diámetro, lo que disparó intentamos dará como resultado un cero.

Ahora, a mí me parece que la condición de "scratching" es un estado abierto en el espacio de configuración del problema (por ejemplo, parametrizar por los extremos de la pared, la pelota posiciones, sentía coeficiente de amortiguamiento, ángulo de disparo, etc.--aquí supongo paredes son posiblemente vacía cerrado intervalos y las bolas están cerrados bolas) por lo que este contraejemplo da infinitamente muchos (un poco menos trivial) contraejemplos.

EDIT: George Lowther señala correctamente que esta construcción no funciona para todos los tamaños de mesas de billar, así que voy a ser un poco más explícito sobre lo que tengo en mente. Deje que el diámetro de las bolas de ser $d$ y vamos a la tabla de tamaño de $R\times r$ donde $r<2d$. Poner una esquina de la mesa en $(0,0)$ con los lados de la mesa paralelo a los ejes de coordenadas y el lado de longitud $R$ a lo largo de la $y$-eje. Poner la bola roja en $(r/2, R/2)$ y la bola de a, digamos, $(r/2, R/4)$. Dejar que el muro "todos los bolsillos", excepto por un punto en $(r/2, R)$, que está hecho de "material de la pared".

Por ejemplo una bola entra en el bolsillo si toda la bola cruza el límite de la bolsa. Ahora a hundir la bola roja se debe pasar al menos $r/2+d/2$ a la derecha o a la izquierda (uno no se puede hundir, a lo largo de la $x$-eje, ya que tendría que pasar a través de la bola de hacerlo). Pero luego por la conservación del momento, la señal tendría que mover por lo menos $r/2+d/2$ en la dirección opuesta, lo que sería un rasguño. (De hecho, el cue en realidad arañazos antes de que la bola roja que va, creo).

Answer 4

edit 1 $\to$ 2 ** Esto puede o no ser la respuesta... (pero creo que la respuesta es **no. a su T1) :

Hay siempre un poco de dirección en el que disparar a la bola, de modo que algunos de bola entra en un bolsillo (se hunde), y aunque otras pelotas también puede ser hundido, la bola en sí no es (así que no es cero)?

Eso no es una respuesta que busca, sin embargo este es un avance de un comentario que hice arriba, donde estoy de acuerdo con Daniel Litt que con suficientes bolsillos, la bola blanca en última instancia cero. De hecho, mientras no es más que cero bolsillos, siempre es muy probable que la bola blanca en última instancia cero, excepto para, precisamente, delicadas situaciones. Voy a construir un ejemplo.

También, con José condiciones, en ningún momento se pierde con cada bola-para-el contacto con la pelota, con lo que la bola blanca siempre se tiene que mantenerse en movimiento. De hecho, es casi un analógica (real, en $\mathbb{R}^2$) analógica a un discreto estocástico de la matriz: si hay alguno de los elementos de la cadena de Markov que son de absorción de los estados, a fin de cuentas, todo va a ser absorbido. Incluso si sólo hay un bolsillo (o simplemente el estándar de seis), la bola al final terminará en uno de los bolsillos para Q esta de criterios, a menos que haya configurado apenas a la derecha.

Los bolsillos son análogos a los aborbing los estados en el estocástico de la matriz de la cadena de Markov.

La excepción a la absorción de los estados " siempre la absorción de todas las posibilidades que se produce si hay un ciclo en la cadena de Markov. Aquí está un ejemplo en el que terminan con un bucle infinito, lo que equivale a un ciclo en una cadena de Markov.

• Su mesa de billar es determinista con una longitud de $y_t$ (a lo largo del eje largo de la tabla) y la anchura $x_t$, con bolsillos en las cuatro esquinas y a lo largo de los lados en $x=0$ e $x=x_t$

• Establecer la bola de a $(x_c, y_c)$, con $x_c$ más de la mitad-el diámetro de la bola + el ancho de la esquina bolsillos $\times \sqrt(2)$

• establecer uno más de la bola de $B$ a $(x_c, y_b)$ de manera tal que la bola y esta bola están alineados en su posición x y que no se superponen en su posición y ($y_c - y_b \gt$ diámetro de bolas $+ \varepsilon$ muy pequeño $\varepsilon$)

• lugar de todas las otras bolas en $(x_d, y_{something})$ tal que $x_c - x_d \gt$ diámetro de bolas $+ \varepsilon$, y de estos a otras bolas no se superponen, por ejemplo, $y_i - y_j \gt$ diámetro de bolas $+\varepsilon$ por cada $i,j$ par de dos bolas de las bolas restantes.

• dar a la bola un impulso tal, que se mueve con $v_x = 0$ e $v_y \gt 0$

• (bucle infinito empieza aquí)

• ahora la bola se moverá hacia arriba hasta que toque el balón $B$, que se produce por primera vez en $(x_c, y_b - \textrm{diameter} \div 2)$ como punto de contacto para las dos bolas

• el impulso es transferido a la bola de $B$ que se mueve con ningún movimiento a lo largo del eje x, y positivo a lo largo del eje hasta que llegue el final de la mesa

• $B$ refleja hacia atrás hasta que se golpea la bola, impartiendo una negativa y la velocidad a la que

• bola golpee la pared más cercana y se refleja de nuevo a golpear la pelota $B$

• ad infinitum

Así que esto no responde a su pregunta, pero sí demostrar que un escenario existe en un determinista perfecto impulso de conservación de juego de billar de forma tal que un ciclo oscilatorio se introduce y nunca termina.

Así que con las condiciones que podemos hacer que la fricción de rodadura arbitrariamente pequeño, nos podemos acabar rascarse incluso si la configuración se encontró que era capaz de hundir a los quince bolas y luego la bola iba a estar solo en una tabla de mover hasta que cayó en uno de los bolsillos. A menos que podamos ajustar $\mu$ por cada partida de configuración, de modo que después de hundir a los quince bolas, la bola se desliza a una parada. Pero eso es sólo la creación de demasiados parámetros y variables libres. Esta es la razón por la que los físicos recomendamos que no podemos vivir en un mundo sin fricción.

(edición 2 audaz afirmación se retractó por strikethroughs) en Realidad, he releído tu revisada pregunta, y creo que esto es realmente la respuesta que buscan, y la respuesta es no. No hay ninguna vacuna que usted puede hacer en el juego en la mesa se han definido de tal forma que hundirá el especificado de la pelota y también no cero. Sus condiciones tales que en caso de no entrar en un bucle infinito, la bola seguirá moviéndose. Para golpear una pelota en un bolsillo, la bola de ciclo alrededor y encontrar un mundo que ha cambiado, y lo más probable es final hasta rayar en última instancia. y si usted permite que la fricción de rodadura $\mu_R$ a ser un specifiably valor pequeño, tal vez la respuesta es sí. Pero la condición de permitir a otros 14 bolas en la mezcla que se convierte en una extensa tipo de problema, como el 3-cuerpo problema para la atracción gravitatoria, con wacky dinámica caótica que no son fácilmente tractably recibido alrededor. ...