¿Por qué la invariancia conforme sólo es posible para las teorías sin masa?

Question

Soy consciente de que esto no es necesariamente una pregunta a nivel de investigación, pero he hecho esta pregunta en mathstackexchange, y no he recibido respuesta. Así que lo intento aquí.

Un mantra habitual en las teorías de campo es la afirmación de que sólo las teorías sin masa pueden ser conformemente invariantes . Por un teoría Me refiero a una acción $$ S = \int \mathcal{L} \, \mathrm{dVol}, $$ donde $\mathcal{L}$ es la densidad lagrangiana, y la integral se toma sobre una variedad lorentziana de 4 dimensiones con métrica $g$ . Por invariancia conforme Me refiero a la afirmación de que bajo el reescalado conforme de la métrica $$ \hat{g} = \Omega^2g, $$ el Lagrangiano se transforma como $\hat{\mathcal{L}} = \Omega^{-4} \mathcal{L}$ . Entonces, como la forma de volumen se transforma como $\widehat{\mathrm{dVol}} = \Omega^{4} \mathrm{dVol}$ la acción $S$ es invariante, y se dice que la teoría es conformemente invariante.

La explicación física habitual que se da es que "si se supone que una teoría es conformemente invariante, entonces no puede existir una escala intrínseca a ella, como la masa o la longitud de onda de Compton". Por supuesto, esto es un montón de gestos. Creo que no sé estrictamente lo que quiero decir con un sin masa teoría. Las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo, son una teoría invariante conforme sin masa. Mi suposición habría sido que la masa de una teoría es su masa ADM, pero como se ha señalado en los comentarios, ésta es una propiedad de una solución de una teoría, no de la propia teoría. Por lo tanto, si $m$ es la masa de una teoría, cualquiera que sea su significado exacto, y $m \neq0$ ¿Por qué tiene que fallar la invariancia conformacional?

Answer 1

Un físico respondería a esta pregunta de la siguiente manera. (Todo lo que voy a decir puede expresarse de forma que lo entienda el más puro de los matemáticos, pero esa traducción llevaría mucho trabajo, así que sólo lo haré a petición).

En física tenemos unidades de masa ( $M$ ), la longitud ( $L$ ) y el tiempo ( $T$ ).

En la relatividad especial tenemos una constante fundamental $c$ la velocidad de la luz, con unidades $L/T$ . Así, en la relatividad especial, cualquier longitud determina un tiempo y viceversa.

En la mecánica cuántica tenemos una constante fundamental $\hbar$ La constante de Planck, con unidades $ML^2/T$ . $\hbar / c$ tiene unidades $M L$ . Así, en las teorías que implican tanto la relatividad especial como la mecánica cuántica, cualquier masa determina una longitud inversa, y viceversa.

La teoría cuántica de campos relativista implica tanto la relatividad especial como la mecánica cuántica. Así, en la teoría cuántica de campos relativista, si tenemos una partícula de cierta masa $m$ determina una longitud, a saber $\hbar / c m$ . Esto se denomina Longitud de onda Compton de esa partícula.

Algunos físicos pueden preferir utilizar $h = 2 \pi \hbar$ en la definición de la longitud de onda Compton, pero esto no es importante aquí: lo que realmente importa es que cuando se tiene una teoría cuántica de campos relativista con una partícula de una masa determinada, ésta tendrá una escala de longitud preferida y, por lo tanto, no será invariante bajo transformaciones de escala, por lo tanto no bajo transformaciones conformacionales... a menos que esa masa sea cero , en cuyo caso la longitud de onda Compton es indefinida.

¿Qué significa la longitud de onda Compton? He aquí una explicación aproximada. En mecánica cuántica, para medir la posición de una partícula, se puede disparar luz (o algún otro tipo de onda) hacia ella. Para medir la posición con precisión, hay que utilizar luz con una longitud de onda corta y, por tanto, con mucha energía. Si se intenta medir la posición de una partícula con masa $m$ con mayor precisión que su longitud de onda Compton, es necesario utilizar una energía que supere $mc^2$ . Esto significa que la colisión es lo suficientemente energética como para crear otra partícula del tipo cuya posición se intenta medir. Así pues, en la teoría cuántica de campos relativista, debemos imaginar cualquier partícula como parte de una "nube" de partículas "virtuales" que pueden convertirse en "reales" si se intenta medir su posición con demasiada precisión. El tamaño de esta nube no está claramente definido, pero es aproximadamente la longitud de onda de Compton. Por tanto, la teoría de esta partícula no es invariable bajo transformaciones conformes.

Answer 2

No queda claro en el post si te refieres a las teorías de campo clásicas o cuánticas. En la QFT, la invariancia conforme implica la invariancia de escala. Si la teoría tiene una masa $m$ entonces, como explicó John, esto define una longitud característica, aproximadamente $l=m^{-1}$ que debe ser preservado por simetrías como las transformaciones de escala. Eso significa que la masa $m$ debe satisfacer $$ \forall \lambda>0,\ \lambda m=m\ . $$ La conclusión habitual que se deduce de este requisito es que $m=0$ Es decir, el mantra "sólo las teorías sin masa pueden ser conformemente invariantes".

Sin embargo, un poco en el mismo espíritu de la respuesta de Carlo, permítanme mencionar que esta no es la única solución de la ecuación, es decir, también hay $m=\infty$ . Esto corresponde al ruido blanco, o al punto fijo del grupo de renormalización de alta temperatura. La escuela probabilística en torno a Takeyuki Hida ha demostrado que esto también es conformemente invariante (véanse las referencias 107 y 108 mencionadas en la página 11 de mi artículo "Hacia la probabilidad conforme tridimensional" ).

Por cierto, todavía estoy esperando una respuesta a esta pregunta de MO relacionada .

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Editar: Lo que yo entendía de la pregunta del OP era que sólo una masa $m$ está presente, en cuyo caso las únicas posibilidades son $m=0$ o $m=\infty$ . Sin embargo, debo añadir, dados los comentarios de Marcel y Logan, que otra posibilidad es tener un espectro continuo de masas presentes. De hecho, esta es la situación más común en CFT. Para un campo $\phi$ con dimensión de escala $\Delta\in\left(\frac{d-2}{2},\frac{d}{2}\right)$ la función euclidiana de dos puntos es hasta factores constantes $$ \langle\phi(x)\phi(y)\rangle\sim\frac{1}{|x-y|^{2\Delta}}\sim \int \frac{d\xi}{(2\pi)^d}e^{i\xi(x-y)}\frac{1}{|\xi|^{d-2\Delta}} $$ $$ \sim\int \frac{d\xi}{(2\pi)^d}e^{i\xi(x-y)}\left(\int_0^{\infty} m^{2\Delta-d+1}\frac{dm}{\xi^2+m^2}\right) $$ $$ = \int_0^{\infty}dm\ m^{2\Delta-d+1}\ \left(-\Delta+m^2\right)^{-1}(x,y)\ . $$ La última fórmula es la forma explícita de la representación de Källén-Lehmann mencionada en el comentario de Marcel. Mediante una teorema de Pohlmeyer Los CFT que no tienen este tipo de espectro de masas continuo deben ser libres. Así que en ese sentido, esta tercera opción es la más común en la literatura física.

Answer 3

Esto puede ser un "no" menos claro de lo que sugiere el mantra "no puede haber partículas masivas en una CFT porque eso introduciría una escala": Anatol Odzijewicz ha construido una CFT para partículas masivas, en la que se permite que la masa varíe como resultado de las interacciones:

El objetivo de este trabajo es la construcción de una teoría de campo para una partícula masiva conforme que interactúa con un campo externo. La partícula masiva escalar conforme clásica se define como un objeto físico objeto físico localizado espacialmente con una energía y un momento. Sólo como en la mecánica relativista las partículas conformes se dividirán aquí en partículas, antipartículas y taquiones. Pero a diferencia de la mecánica relativista la masa de la partícula puede variar durante sus evoluciones. En consecuencia, los espacios de fase correspondientes serán el conformes homogéneos Hamiltonianos de ocho dimensiones. dimensiones.

véase Una teoría de campos holomórficos conformes

Answer 4

El mantra habitual suele formularse en el contexto de la teoría cuántica de campos en el espacio de Minkowski. En una teoría de campos clásica, no hay partículas ni masa para las partículas. En una teoría cuántica de campos relativista, hay partículas y tiene sentido hablar de su masa (técnicamente, una partícula en la teoría cuántica de campos es uno de los componentes irreducibles que aparecen discretamente en la representación del grupo de Poincaré en el espacio de Hilbert de los estados de la teoría, y la masa de la partícula es el valor correspondiente del operador cuadrático de Casimir del álgebra de Lie de Poincaré).

En una teoría relativista, una longitud es lo mismo que un tiempo (longitud=c x tiempos). En una teoría relativista cuántica, también es lo mismo que la inversa de una masa o la inversa de una energía (energía = $\hbar$ /tiempo). En particular, una escala de masa no nula implica una escala de longitud no nula y, por tanto, una teoría cuántica relativista con partículas masivas no puede ser invariante conformacional (técnicamente, para una representación irreducible del grupo conformacional que se restringe a una suma discreta de representaciones irreducibles del grupo de Poincaré, estas representaciones irreducibles del grupo de Poincaré son de masa nula).

Answer 5

Entonces, debes estar hablando de las teorías cuánticas de campo, ya que la masa es algo que asociamos a las partículas, que son un fenómeno cuántico en las teorías de campo.

En la QFT, hay operadores que crean partículas. Esto significa (sin tener en cuenta varios detalles, así que perdonen la imprecisión), que:

1. Hay un elemento distinguido del espacio de Hilbert de los estados, $|vac\rangle$ el vacío, que no tiene partículas.
2. Hay operadores $\phi_i(f)$ que, cuando se aplican al vacío, crean un estado $|(i,f)\rangle := \phi_i(f)|vac\rangle$ en la que hay una partícula de la especie $i$ con la función de onda $f$ .

La masa de las partículas se mide por la tasa de desintegración espacial asintótica de los productos internos de estos estados de 1 partícula. $$\langle (i,f) | (i,g) \rangle = \int f(x) g(y) K_i(x,y)d^3x d^3 y$$ para algún núcleo $K_i$ que a veces se llama "función de correlación". Si tomamos $x$ y $y$ estar separados por una gran distancia $r$ encontramos que $K_i(x,y) \sim e^{-m_ir}$ en las teorías masivas. Esto puede tomarse como una definición de la masa $m_i$ de partículas del tipo $i$ . Esto también funciona en los espacios-tiempo curvos.

En las teorías cuánticas de campo conformes, en cambio, la invariancia conforme obliga $K(x,y)$ para tener una ley de potencia decaída $K(x,y) \sim r^{-\alpha}$ . Esta es la incompatibilidad básica. (De hecho, la invariancia conformacional determina completamente la forma de las funciones de correlación de dos puntos, no sólo su asintótica. Se puede encontrar una prueba de esto en casi cualquier texto sobre QFT conformacional).