Analogías que respaldan la heurística: grupos de Weyl = grupos algebraicos sobre el campo con un elemento?

Question

Allí es bien conocido heurística que Weyl grupos son reductora algebraica de los grupos de más de campo"con un solo elemento".

Probablemente la mejor conocida analogía de apoyo que la heurística es el límite de $q\to1$ para el número de elementos en $G(F_q)$ - para el adecuado "m" contiene:

$$ \lim_{q\to1} \frac { |G(F_q) | } { (q-1)^m} = |Weyl~Group~of~G| $$

Por ejemplo: $|GL(n,F_q)|= [n]_q! (q-1)^{n}q^{n(n-1)/2} $, por lo que dividido por $(q-1)^n$ uno se $[n]_q! q^{n(n-1)/2} $ y en el límite de $q\to1$, se pone en $n!$ cual es el tamaño de $S_n$ (Weyl grupo GL(n)). (Para otros grupos de Lorscheid de 2009 página 2 de fórmula 1).

Pregunta ¿cuáles son las otras analogías de apoyo heurística: los grupos de Weyl = algebraica de los grupos de más de campo con un solo elemento ?

Subquestion una vez googlear papeles en F_1, yo he visto una interesante analogía de la teoría de la representación del punto de vista - era algo sobre la inducción a partir de la diagonal de subgrupos de los grupos simétricos $S_{d_1}\times ... \times S_{d_k} \subset S_n$ donde $\sum d_i = n$ y similar hecho por $GL(n,F_q)$, lo que fue debido a Steinberg o Springer o Carter (no recuerda). Pero no puedo google de nuevo y no puede recordar los detalles :( (Tratado bastante -, yo estaba seguro de que fue en la primera o segunda página de Soule del papel en F_1 - pero no es, ni muchos otros papeles).

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Sabiendo que el elemento total recuento está bien, podemos preguntarnos acerca de recuento de elementos con ciertas propiedades como: m-tuplas de desplazamientos de los elementos (MO271752), involuciones, elementos de orden $m$, lo que sea ... De respuesta MO272059 uno sabe que hay ciertas analogías para tales contar, sin embargo parece que los límites de $q\to1$ no están muy claros.

Pregunta 2 ¿existe alguna analogía para contar los elementos con algunas condiciones razonables ? Espero a ver que cuentan $G(F_q)$ (debidamente normalizado) en el límite de $q\to1$ da respuesta para el grupo de Weyl.

Answer 1

Esto es más un comentario extendido de una completa respuesta, pero el OP me animó a escribir, y tal vez puede animar a alguien a publicar una información más precisa de la cuenta a lo largo de esas líneas.

Una parabólica de los subgrupos de un grupo de Coxeter $W$ con Coxeter electrógenos $S$ es simplemente el subgrupo (también un grupo de Coxeter) $W_J$ generado por un subconjunto $J\subseteq S$. En el caso de $W$ es un grupo de Weyl, esto significa que tenemos que seleccionar un subconjunto $J$ del conjunto de $S$ de los nodos del diagrama de Dynkin. La máxima parabolics se obtienen mediante la extracción de un único nodo del diagrama de Dynkin. En el caso de $\mathfrak{S}_n = W(A_{n-1})$ generado por la transposición de elementos adyacentes, una máxima parabólico es el estabilizador de la $\{1,\ldots,k\}$ en $\{1,\ldots,n\}$ donde $k$ es el nodo quitado; por lo que el correspondiente cociente (quiero decir, el conjunto de cosets) puede ser considerada como el conjunto de $k$-elemento subconjuntos de $\{1,\ldots,n\}$, de los cuales hay $\binom{n}{k}$. Ahora el correspondiente parabólico subgrupo de $\mathit{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ es el estabilizador de un $k$-dimensional en el subespacio, y el cociente es el conjunto de subespacios (conjunto de puntos de la Grassmannian), de los cuales hay $\binom{n}{k}_q$ (Gaussian coeficiente binomial). Las diversas analogías entre ordinario y Gaussiano los coeficientes binomiales pueden entonces ser interpretado como analogías entre el grupo de Weyl y el grupo lineal. Algo Similar puede decirse de la bandera de variedades y otros tipos de Dynkin, pero no me siento lo suficientemente cómodo ampliando esta aquí.

A lo largo de diferentes líneas (o tal vez no tan diferentes), (gruesa) Tetas edificios de tipo esférico puede ser visto como una generalización de Coxeter complejos, es decir, "fino" de los edificios, (de tipo esférico), y la relación con el algebraicas grupos, por un lado, y el número limitado de grupos de Coxeter en el otro claramente Weyl grupos parecen similares a los algebraica de los grupos sobre el campo con $1$ elemento. De nuevo, no quiero que se expanda sobre esto por miedo a decir algo mal, pero esto se debe, al menos, sugerir una manera de mirar las cosas.

Una última cosa que viene a mi mente es sobre generalizada matroids: no sólo el conjunto de $k$-elemento subconjuntos de $\{1,\ldots,n\}$ tienen un cardenal que tiene similitudes formales con el conjunto de $k$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb{F}_q^n$, pero sus conjuntos también tienen una estructura como un matroid, y de nuevo, matroids pueden ser generalizados a la bandera matroids y otros tipos de Dynkin.

Answer 2

[El siguiente comentario es demasiado largo para el cuadro de comentario.]

En el subquestion: Zelevinsky las Representaciones de finito clásica grupos - un enfoque de álgebra de Hopf (LNM) puede ser relevante para lo que usted está pensando. Zelevinsky construye dos álgebras de Hopf: la primera venida de inducción y la restricción de la (compleja) las representaciones de los grupos simétricos a lo largo de la inclusión $S_n\times S_m\to S_{n+m}$, el segundo con parabólica de la inducción y de la restricción (de nuevo, de complejas representaciones) para finitos lineal general grupos a lo largo de la inclusión $GL_n(\mathbb F_q)\times GL_m(\mathbb F_q)\to GL_{n+m}(\mathbb F_q)$. Zelevinsky muestra que el segundo álgebra es un producto tensor de copias de la primera, con una copia para cada par de $(n,\pi)$ donde $\pi$ es un cuspidal de la representación de $GL_n(\mathbb F_q)$.

He aquí un intento de, posiblemente completamente equivocada, para extraer de esto una analogía que podría ser relevante a su pregunta. (No sé cómo esto se relaciona con la literatura existente sobre la $\mathbb{F}_1$. Lo siento si me estoy repitiendo algo que es bien conocido). Si nos identificamos $S_n=GL_n(\mathbb F_1)$, Zelevinsky el resultado podría ser interpretado metafóricamente como diciendo que "la única cuspidal de la representación de $GL_n(\mathbb F_1)$ es la representación trivial de lo trivial grupo". Desde cuspidal representaciones de $GL_n(\mathbb F_q)$ están asociados a caracteres de anisotrópico tori, y ya que (supongo?) el "grupo de $\mathbb F_1$-puntos de un toro de más de $\mathbb F_1$" siempre es el trivial grupo, esto tiene algún tipo de sentido.