¿Puede cada $\mathbb{Z}^2$ ¿disco de la bola de pinball?

Question

Que cada punto de $\mathbb{Z}^2$ estar rodeado por un disco reflejado de radio $r < \frac{1}{2}$ , excepto dejar el origen $(0,0)$ no ocupada por un disco.

Q . ¿Es posible que todos los discos sean alcanzados por un rayo de luz que emana del origen y que se refleje en los discos en espejo?

Los rayos de luz se componen de segmentos (infinitamente finos) y se reflejan en los discos con un ángulo de incidencia igual al ángulo de reflexión. Por ejemplo, esta es una forma (de muchas formas) de incidir en el $(0,2)$ disco cuando $r = \frac{1}{4}$ con dos reflexiones; claramente no puede ser alcanzado directamente, con cero reflexiones:

Creo que la respuesta a mi pregunta Q es Sí pero me gustaría agradezco la confirmación de los expertos en sistemas dinámicos. (Perdónenme si no he aprendido lo suficiente de mi anterior pregunta relacionada, " Pinball en el plano infinito .")

Se me ocurre que podría ser interesante colorear los discos según el número mínimo de de reflejos necesarios para golpear cada uno...

Answer 1

La idea del camino más corto de Douglas Zare me parece muy adecuada para esto.

Intuitivamente, podemos ver los círculos como anillos, y el rayo reflejado como una cuerda que atraviesa los anillos. Tiramos para obtener la cuerda más corta (considerando los anillos fijos, y otras idealizaciones adecuadas).

La siguiente imagen muestra cómo una ruta que conecta $(0,0)$ con $C(m,n)$ puede ser. Normalmente, uno debería ser capaz de calcular los puntos de contacto precisos y los ángulos de reflexión, a partir del ángulo inicial y $r$ pero me da pereza hacerlo.

Añadido

El comentario de Douglas Zare, que cuando el radio está cerca de $1/2$ , las cosas se ponen más difíciles, es correcto, como se puede ver en la ilustración proporcionada por Joseph O'Rourke en otra respuesta. Así que aquí es cómo creo que podemos utilizar la solución que he presentado anteriormente, para manejar cualquier posible $r<1/2$ .

Empieza con la solución anterior, que funciona, por ejemplo, para $r_0=1/3$ . Si $r<1/3$ Se pueden disminuir los radios de los círculos, hasta alcanzar el radio deseado, sin ningún problema. La solución seguirá siendo válida. Las dificultades aparecen si el radio es mayor. Aumentamos gradualmente los radios de los círculos, hasta que la cuerda sea tangente al menos a un círculo. Entonces, envolvemos de nuevo la cuerda. Seguimos aumentando gradualmente el radio, y cuando la cuerda se hace tangente, la envolvemos más, hasta conseguir el radio deseado. Los dos casos principales que podemos encontrar con la solución que he presentado anteriormente, junto con los "movimientos" propuestos, se representan a continuación.

Answer 2

Dejemos que $C_r(x,y)$ o $C(x,y)$ sea el círculo de radio $r$ sobre el punto de la red $(x,y)$ .

Supongamos que elegimos una secuencia de círculos para golpear, y pedimos el camino lineal a trozos de menor longitud desde el origen que golpea cada uno de los círculos a lo largo del camino. Si ésta no entra en un círculo, entonces, por el principio de mínima acción, el ángulo de incidencia será igual al ángulo de reflexión.

Podemos encontrarnos con problemas de dos maneras. En primer lugar, los segmentos de línea pueden intersecar otros círculos. Por ejemplo, si le pedimos a la trayectoria que visite $C(1,0)$ y luego $C(3,0)$ entonces el segmento de línea debe intersecar $C(2,0)$ . Por lo tanto, será mejor que restrinjamos los caminos para que no lo hagan. En segundo lugar, el camino lineal más corto puede pasar por el interior de un círculo. Por ejemplo, desde el origen hasta $C(1,1)$ a $C(2,2)$ el camino más corto pasa por el interior de $C(1,1)$ . De nuevo, para evitar esto, restringiremos las rutas.

Si $r$ está cerca de $1/2$ Entonces tendrá que rebotar varias veces entre el círculo adyacente para pasar por ellos. Sin embargo, para los más pequeños $r$ podemos construir un camino viable de forma más sencilla. Supongamos que $r \lt \sqrt{2}/4 \approx 0.354$ . Entonces ningún segmento de línea que conecte $C_r(x,y)$ a $C_r(x+1,y+1)$ pasa por cualquier otro círculo. En consecuencia, desde cualquier punto de $C_r(x,y)$ a cualquier punto de $C_r(x+1,y+1)$ el camino más corto que llega a $C_r(x+1,y)$ no va dentro $C_r(x+1,y)$ es una trayectoria lineal a trozos que se refleja en $C_r(x+1,y)$ .

Toma un camino desde $(0,0)$ a $(x,y)$ con pasos unitarios paralelos a los ejes de manera que cada paso sea perpendicular al anterior. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $0 \le x \le y$ y podemos ir andando a $(0,1), (1,1), (1,2), ... (x,x)$ . A partir de ahí, utilizamos un patrón de dientes de sierra: $(x,x+1), (x-1,x+1),(x-1,x+2),(x,x+2),(x,x+3),(x-1,x+3)... (x,y)$ . Entonces la curva más corta que parte del origen y llega a los círculos centrados en estos puntos en este orden es una trayectoria lineal a trozos de un rayo de luz que llega a $C(x,y)$ reflejando los círculos en ese orden.

                _{(Imagen añadida por J.O'Rourke)}

Esto sólo maneja $r \lt \sqrt{2}/4$ . Creo que se puede cubrir el caso de $\sqrt{2}/4 \le r \lt 1/2$ sustituyendo $C(x,y) \to C(x+1,y)$ con $C(x,y)\bigg( \to C(x+1,y) \to C(x,y)\bigg)^n \to C(x+1,y)$ donde el número de repeticiones $n$ depende de $r$ , tal vez $n=c/(1/2-r)$ .

Answer 3

Añado esta imagen sólo para ilustrar que las cosas parecen más complicadas (como ha subrayado Douglas Zare) cuando los radios de los discos se acercan a $\frac{1}{2}$ :
          

Answer 4

Para radios pequeños r, quizás r menos de 1/5, debería funcionar algo como lo siguiente. Utilizo la simetría para restringir mi atención a los círculos en el primer cuadrante.

Utiliza una coloración de tablero de ajedrez y colorea el origen y los círculos con coordenadas de igual paridad del mismo color, por ejemplo, plata. Debe quedar claro que cualquier círculo plateado con coordenadas (0,n) o (1,n) es alcanzable mediante usando n-1 reflexiones, y que al menos 120 grados de arco en ese círculo son alcanzables.

Ahora se pueden cubrir coordenadas x más grandes reflejando el rayo en (0,n) y subiendo. Aunque el rayo no emana del centro de (0,n), debe quedar claro que hay suficiente espectro de ángulos para elegir que uno puede usar una reflexión adicional para alcanzar, por ejemplo, (2,n). espectro de ángulos para elegir que uno puede utilizar una reflexión adicional para golpear, digamos, (2,n) después de salir de (0,n). Esto debería generalizarse a un círculo plateado arbitrario, y cada uno de ellos tiene al menos 120 grados de arco como objetivo disponible.

Una vez que se ha demostrado que todos los círculos plateados son alcanzables, construye una ruta hacia un círculo arbitrario (m,n) atravesando hasta (0,n) o (0,n+1), el que sea plateado, subir a un círculo plateado pasado pero cercano a (m,n), y reflejarse en un círculo plateado hasta el objetivo deseado.

Gerhard "Loopy After Bouncing Off Walls" Paseman, 2013.04.19

Answer 5

Permítanme llamar la atención sobre una nueva encuesta expositiva relacionada con esta cuestión:

Alex Wright. "De los billares racionales a la dinámica en los espacios de moduli". Abr. 2015. ( Resumen de arXiv .)

Habla del modelo "Árbol del viento", también conocido como modelo Ehrenfest, que es esencialmente el modelo que estaba considerando, pero con cuadrado (o rectangular) "cuadrados (o rectangulares) en lugar de discos:

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