Fuerte teorema de inclusión de Whitney para colectores no compactos

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$La presente pregunta que surge a partir de cierta confusión por mi parte con respecto a la declaración precisa de la fuerte Whitney incrustación teorema de no-compacto de los colectores.

El fuerte Whitney incrustación teorema usualmente se expresa como sigue.

Teorema: Si $M$ es un buen $n$-dimensiones del colector, a continuación, $M$ admite una suave integración en $\RR^{2n}$.

De hecho, el teorema se expresa esencialmente en esta forma en Whitney original del artículo "La auto-intersecciones de una suave $n$-colector en $2n$-espacio". Por definición, voy a suponer que todos los colectores se Hausdorff, segundo contables, y suave.

Pregunta 1: ¿Podemos tomar siempre la incrustación en el teorema anterior para ser cerrado? Si es así, hay una referencia de un enunciado del teorema?

Parece que Whitney original de la prueba produce una incrustación cuya imagen es no cerrado al $M$ está abierto. De hecho, inmediatamente después de la construcción, Whitney explícitamente plantea el siguiente problema: "¿existe una involucración, por $M$ abierto, sin límite?"

De haber pensado en el asunto por un corto tiempo, me inclino a creer que Whitney truco (introducida en el artículo citado por Whitney) permite la cancelación de una infinidad de puntos dobles en una manera que preserve cerrado de inmersiones. Es esto correcto? O es mi argumento quedar atrapado en alguna trampa?

Mi segunda pregunta se refiere a las posibles restricciones dimensionales en el por encima de la incrustación de teorema, derivados de la falta de Whitney truco para $n=2$.

Pregunta 2: ¿todas las $2$-dimensiones del colector de incrustar en $\RR^4$? Si es así, podemos aprovechar también la incrustación de ser cerrado en este caso?

Aquí está la sugerencia de prueba en Whitney en el artículo: "Por $n=2$, se empotre de la esfera, el plano proyectivo, o de la botella de Klein en $E^4$, y agregar la cantidad necesaria de asas para obtener el dado múltiples." Puedo ver que este procedimiento debe trabajar para superficies compactas, pero soy incapaz de llevarlo a cabo en la no-compacto.

Por último, yo también estaría interesado en escuchar acerca de los más recientes, buenas referencias sobre Whitney fuerte integración teorema.

Answer 1

Con respecto a la pregunta 1, sí, usted siempre puede asegurarse de que la imagen está cerrado. Comprueba la fuerte Whitney perturbando un mapa genérico $M \to \mathbb R^{2m}$ a una inmersión, y, a continuación, hacer un local de doble punto de creación/destrucción de técnica llamada Whitney truco. Así que en lugar de usar cualquier liso mapa de $M \to \mathbb R^{2m}$, de inicio, con un adecuado mapa, donde la pre-imagen de conjuntos compactos es compacto. Usted puede, a continuación, de forma inductiva perturbar el mapa en una agotadora colección de compactos submanifolds de $M$, haciendo que el mapa en una inmersión que es la correcta.

Respecto a la pregunta 2, en general, si el colector no es compacto la incrustación problema es más fácil, no más difícil. Piense en cómo su colector se construye a través de envío de archivos adjuntos. Usted puede construir la incrustación en $\mathbb R^4$ muy directamente. Creo que de $\mathbb R^4$ con su altura estándar de la función $x \longmapsto |x|^2$, y de asumir la función de Morse en $M$ es adecuado y toma valores en $\{ x \in \mathbb R : x > 0 \}$. Entonces yo reclamo puede incrustar $M$ en $\mathbb R^4$, de modo que el Morse función es la restricción de la norma Morse función. La idea es que todos los $0$-manejar corresponde a la creación de una división unknot componente en el nivel de conjuntos, etc.

edit: Los conjuntos de nivel de la norma morse de la función en $\mathbb R^4$ se compone de esferas de diferentes radio. Así que cuando usted pasa a través de un punto crítico (como el radio aumenta) ya sea que usted está creando una división unknot componente, haciendo de conectar operación de suma entre los componentes (o a la inversa), o un auto-connect-suma), o se elimina una fracción de unknot componente. Por una fracción de unknot componente, me estoy refiriendo a la situación en la que tiene un enlace en la $3$-esfera. Un componente es dividir si no es un integrado 2-esfera que contiene sólo ese componente, y no hay otros componentes de la enlace. Así que una fracción de unknot componente significa que el componente de los límites incorporado un disco que es distinto de los otros componentes.

En relación a tu última pregunta, el Whitney incrustación teorema no está escrito en muchos lugares ya que todas las ideas clave aparecen en la prueba de la h-cobordism teorema. Así Milnor notas son un arquetipo de la fuente. Pero Adachi las Incrustaciones y las Inmersiones en las Traducciones de la AMS de la serie es uno de los pocos lugares en donde se presenta en su contexto original. Usted puede encontrar el libro en Ranicki de la página web.