Intuición detrás del flujo de ricci

Question

Espero que no me dispares por esta pregunta. Trato de entender, entre otras cosas, el flujo de Ricci. Sin embargo, no tengo idea de la intuición detrás de la definición. Entonces mi pregunta es:

¿Cuál es la intuición detrás del flujo de Ricci?

Agradecería cualquier ejemplo ilustrativo.

Answer 1

Ver

J. Hyam Rubinstein y Robert Sinclair. "Visualizando Ricci Flow of Manifolds of Revolution", Experimental Mathematics v. 14 n. 3, págs. 257–384. ( Enlace del diario )

_{(Imagen de ese documento, a través de Wikipedia)}

Answer 2

He combinado dos respuestas en un (fuera de orden).

Segunda respuesta: algunos históricos de la intuición. Esta es sólo una respuesta parcial. Suponga que usted ha tropezado con la ecuación $\frac{\partial}{\partial t}g=-2\operatorname{Ric}$ y que se interesados en saber si se puede utilizar para deformar métricas para obtener mejores mediciones en cerrado los colectores.

PDE intuición. La primera es la cuestión de corto tiempo de existencia dada una $C^{\infty}$ métrica inicial $g_{0}$. Así que uno linearizes el operador $g\mapsto-2\operatorname{Ric}_{g}$ y calcula su símbolo y encuentra que es débilmente elíptica. De hecho $\operatorname{Ric}_{\varphi^{\ast}g} =\varphi^{\ast}\operatorname{Ric}_{g}$, representa el núcleo de el símbolo. Por la ruptura de la diffeomorphism la invariancia del flujo de Ricci en el camino correcto, DeTurck simplificado Hamilton prueba de corto tiempo de existencia, mediante la obtención de un ecuación equivalente de la métrica que linearizes a un calor-tipo de ecuación.

A ver si la métrica se pone mejor, uno calcula la evolución de los geométricas las cantidades asociadas a $g(t)$. Si $Q=Q[g]$ es una cantidad, suponiendo que el variación $\frac{\partial}{\partial t}g=-2\operatorname{Ric}$ de la métrica, uno calcula la correspondiente variación $\frac{\partial Q}{\partial t}$. Uno inmediatamente se ve calor-tipo de ecuaciones en todas partes. Por ejemplo, el escalar la curvatura evoluciona por $\frac{\partial R}{\partial t}=\Delta R+2|\operatorname{Ric}|^{2}$. Dado que el método global del principio del máximo se basa en locales cálculos, se aplica a cerrado los colectores. Por lo que $R_{\min }(t)=\min_{x\in M}R(x,t)$ es no decreciente. Uno busca otros ejemplos de Ricci el flujo de prefiriendo curvatura positiva sobre la curvatura negativa. Básicamente, cualquier polinomio de la curvatura y su covariante derivados, ya sea un función o, más generalmente, un tensor, satisface un calor-tipo de ecuación. E. g., derivado de la curvatura de las estimaciones siguen desde el principio del máximo.

Haber obtenido el control de la métrica como evoluciona, entonces uno se propone demostrar la convergencia. En la dimensión dos, siempre es posible después de reescalado normalizar el volumen sea constante. En general, un Einstein métrica se encoge, es estacionaria, o se expande de acuerdo a si $R$ es positivo, cero o negativo, respectivamente.

Cantidades satisfactorias de calor-tipo de ecuaciones. El pleno del tensor de curvatura $\operatorname{Rm}$ satisface una ecuación de la forma $\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{Rm}=\Delta\operatorname{Rm}+p(\operatorname{Rm})$, donde $q$ es un polinomio cuadrático. Desde $\operatorname{Rm}$ es simétrica bilineal forma en el espacio vectorial $\wedge^{2}T_{x}^{\ast}M$ en cada punto de $x$, tenemos la noción de nonnegativity de $\operatorname{Rm}$. Desde $q(\operatorname{Rm})$ satisface una propiedad suficiente para el máximo principio de los sistemas han de ser aplicadas, $\operatorname{Rm}\geq0$ se conserva bajo el flujo de Ricci. En general, podemos analizar el comportamiento de $\operatorname{Rm}$ por el principio del máximo bajo diversas hipótesis.

Geométrica de la aplicación. En particular, cuando se $n=3$ y $\operatorname{Ric} _{g_{0}}>0$, we have $\pi_{1}(M)=0$ and hence the universal cover $\tilde{M}$ es un homotopy $3$-esfera. Animados por esto, Hamilton demostró que la solución a la normalizado flujo de Ricci existe para todos los tiempos y converge a una constante positiva de la sección transversal de la curvatura de la métrica; por lo tanto $M$ es diffeomorphic a un espacio esférico forma. El principal gonzo estimado es de $\frac{|\operatorname{Ric}% -\frac{R}{3}g|^{2}}{R^{2}}\leq CR^{-\delta}$ for some $C$ and $\delta>0$. Intuitivamente, esperamos que $R\rightarrow\infty$ y por lo tanto $\operatorname{Ric} -\frac{R}{3}g\rightarrow0$.

Singularidades. Schoen y Yau demostrado que si un orientable $M^{3}$ admite un métrica con $R>0$, entonces es un conectada suma de los cocientes de homotopy $3$-esferas y $S^{2}\times S^{1}$s'.\ Yau propuesto a Hamilton que en este el caso de flujo de Ricci debe ser capaz de producir cirugías para obtener una suma conectado de espacio esférico formas y $S^{2}\times S^{1}$'s. Uno ve por primera vez, que por el fuerte principio del máximo, la universalización de la cobertura de las singularidades de la Flujo de Ricci a menudo divididos como productos de $\mathbb{R}$ con una solución de una de la superficie. Esta es una de las motivaciones para estudiar el flujo de Ricci en las superficies, para descartar la formación de los puros de soliton.

Inspirado por sus correspondientes resultados para la curva de acortamiento de flujo y la Flujo de Ricci en las superficies, Hamilton demostró que la batería de Li-Yau diferencial Harnack el método se extiende para el flujo de Ricci asumiendo $\operatorname{Rm}\geq0$. Desde $3$-dimensiones de la singularidad de los modelos tienen $\operatorname{Rm}\geq0$, Hamilton fue capaz de clasificar ciertas singularidades como el gradiente estable solitones de Ricci y los cilindros. Siempre el Pequeño Bucle Lema es verdad, o más acertadamente, no local el colapso es cierto, por un tiempo limitado singular soluciones se obtiene de la ronda cilindro $S^{2}\times\mathbb{R}$ límites a menos que uno es un espacio esférico el formulario. En este punto, uno puede comenzar a creer que el flujo de Ricci de hecho realizar las cirugías que Yau propuesto.

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Primera respuesta: flujo de Ricci como un calor-tipo de ecuación. Comentario sobre Hamilton declaración: "El flujo de Ricci es la ecuación del calor para las métricas". (El siguiente es un conocido de cálculo). El tensor de Ricci es dada en coordenadas locales por \begin{align*} -2R_{jk} & =-2\left( \partial_{q}\Gamma_{jk}^{q}-\partial_{j}\Gamma_{qk}% ^{q}+\Gamma_{jk}^{p}\Gamma_{qp}^{q}-\Gamma_{qk}^{p}\Gamma_{jp}^{q}\right) \\ & =-g^{qr}\partial_{q}\left( \partial_{j}g_{kr}+\partial_{k}g_{jr}% -\partial_{r}g_{jk}\right) +g^{qr}\partial_{j}\left( \partial_{q}% g_{kr}+\partial_{k}g_{qr}-\partial_{r}g_{qk}\right) \\ & \quad\;+\left( g^{-1}\right) ^{\ast2}\ast\left( \partial g\right) ^{\ast2}\\ & =\Delta\left( g_{jk}\right) -g^{qr}\left( \partial_{q}\partial_{j}% g_{kr}+\partial_{q}\partial_{k}g_{jr}-\partial_{j}\partial_{k}g_{qr}\right) +\left( g^{-1}\right) ^{\ast2}\ast\left( \partial g\right) ^{\ast2}\\ & =\Delta\left( g_{jk}\right) -g_{k\ell}\partial_{j}\left( g^{qr}% \Gamma_{qr}^{\ell}\right) -g_{j\ell}\partial_{k}\left( g^{qr}\Gamma _{qr}^{\ell}\right) +\left( g^{-1}\right) ^{\ast2}\ast\left( \partial g\right) ^{\ast2}. \end{align*} En armónica coordenadas $\{x^{i}\},$ $0=g^{ij}\Gamma_{ij}^{k},$ así que, a continuación, $-2R_{jk}=\Delta\left( g_{jk}\right) +Q\left( g^{-1},\partial g\right) ,$ donde $Q$ es cuadrática en ambos argumentos. (De línea a línea, de los varios términos que son absorbidos en el orden inferior término cuadrático.)

En la normal de coordenadas $\{x^{i}\}$ centrada en $p$ tenemos $g_{ij}\left( x\right) =\delta_{ij}-\frac{1}{3}R_{i\ell mj}\left( p\right) x^{\ell}% x^{m}+O\left( r^{3}\right) $, where $r=d\left( x,p\right) =(\sum_{i}% (x^{i})^{2})^{1/2}$. Then $\Delta\left( g_{ij}\right) \left( p\right) =-\frac{2}{3}R_{ij}\left( p\right) $. Note that $\partial_{i}g_{jk}\left( p\right) =0$.

Hamilton le gusta bromear diciendo que cuando él escribió el flujo de Ricci ecuación, escribió: $\frac{\partial}{\partial t}g_{ij} = 2 R_{ij}$, teniendo una preferencia por la positividad sobre la negatividad.

13 de diciembre de 2013. Respuesta a Qfwfq la pregunta. $\partial g$ denota una inespecíficos factor de forma $\partial_{i}g_{jk}$. $\ast$ denota un producto, posiblemente junto con las contracciones (suma más de un par de índices repetidos, una superior y una inferior). Por ejemplo, \begin{align*} 2\partial_{i}\Gamma_{jk}^{\ell} & =\partial_{i}(g^{\ell m}(\partial_{j} g_{km}+\partial_{k}g_{jm}-\partial_{m}g_{jk}))\\ & =g^{\ell m}(\partial_{i}\partial_{j}g_{km}+\partial_{i}\partial_{k} g_{jm}-\partial_{i}\partial_{m}g_{jk})\\ & \quad-g^{\ell p}g^{qm}\partial_{i}g_{pq}(\partial_{j}g_{km}+\partial _{k}g_{jm}-\partial_{m}g_{jk})\\ & =g^{\ell m}(\partial_{i}\partial_{j}g_{km}+\partial_{i}\partial_{k} g_{jm}-\partial_{i}\partial_{m}g_{jk})+(g^{-1})^{\ast2}\ast(\partial g)^{\ast2}. \end{align*}

Answer 3

La idea original detrás de la ecuación de flujo de Ricci, a saber $$ \frac{\partial g}{\partial t}=-2Ric (g)$$ was to deform 'rough' or 'uneven' metrics to try to obtain more uniform ones. Heuristically, we can see that regions where $Ric>0$ tend to contract under the flow, thus making curvature even more positive (think for example of a sphere with the usual metric; this has constant positive curvature, so the metric will contract uniformly. In this case the sphere shrinks, thus making curvature even larger, until it finally becomes a point). In contrast, regions with $Ric>0$ tend to expand, thereby reducing the curvature. As is obvious from the case of the sphere, in general the volume $V(t)=\int d\mu(g)$ cambios con el tiempo. Podemos renormalise el flujo a hacer volumen constante en el tiempo (por cierto, esta normaliza flujo de Ricci fue el flujo original que Hamilton utilizó en sus 1982 JUE papel). Esto produce que, al menos en principio, un método para tratar de deformar una métrica determinada en 'más uniforme' (es decir, una constante de la sección transversal, la curvatura de Ricci plana, Einstein, etc.). En la práctica esto no es siempre posible, porque a veces ciertas regiones del colector de reducir el ayuno y la curvatura tiende a infinito en un tiempo finito. Esto se llama una singularidad. Estas singularidades en el flujo son importantes porque nos dan información sobre el subyacente de la topología y la geometría de la inicial del colector.

Elaborar un poco más sobre el Prof. Agol comentario, otra manera de conseguir un poco para sentir el flujo de Ricci es pensar en él como una ecuación del calor. En condiciones normales de coordenadas, el tensor de Ricci puede ser expresado como $-2R_{ij}=\Delta (g_{ij})+2Q(g,\partial g)$, (es decir. el segundo término sólo dependes en $g$ y su primera derivada). En estas coordenadas el flujo de Ricci parece $$ \frac{\partial g_{ij}}{\partial t}=\Delta (g_{ij})-2Q_{ij}, $$ que se parece sospechosamente similar a la de los habituales ecuación del calor (no es exactamente una ecuación del calor, aunque!). A partir de esto podemos ver que las regiones donde la curvatura es grande y positiva tienden a disminuir (debido a que el $g_{ij}$ tienen un valor menor que el promedio en esta región; por lo tanto $\Delta (g_{ij})<0$), mientras que las regiones con curvatura negativa tienden a expandirse (en este caso $\Delta (g_{ij})>0$).

Por último, vale la pena decir algo sobre el asympotic comportamiento del flujo. En el documento citado antes, Hamilton demostró que un simple conectado 3-colector $(M,g(0))$ con $Ric(0)>0$ converge finalmente a un colector de positivo de la sección transversal de la curvatura (más precisamente, $g(t)$ converge en algún sentido a una métrica $g_\infty$ constante de la sección transversal de la curvatura; la convergencia es más bien una cuestión técnica así que no voy a explayarme más). En general, siempre que no encontramos una singularidad en la forma, el flujo de Ricci converge a algo que se llama solitones de Ricci, que son generalizaciones de la más conocida de Einstein métricas.

Los detalles acerca de la asintótica comportamiento del flujo son infinitas, pero te recomiendo echar un vistazo a la sección 3 de la ciudad de Hamilton 1995 el papel, La formación de singularidades en el flujo de Ricci, para muchos intuitiva ejemplos. También en el capítulo 3 en Pedro Ingredientes excelentes Conferencias sobre el Flujo de Ricci proporciona una introducción al principio del máximo, que es una gran herramienta para entender esta ecuación de evolución.

Answer 4

Este video de YouTube es la intuición detrás del flujo de Ricci en unidimensional y discutido por James Isenberg de la Universidad de Oregon.