¿Por qué este proceso asigna cada fracción a la proporción áurea?

Question

Comience con cualquier fracción positiva $\frac{a}{b}$. Agregar primero el denominador al numerador: $$\frac{a}{b} \rightarrow \frac{a+b}{b}$$ A continuación, añadir el (nuevo) numerador al denominador: $$\frac{a+b}{b} \rightarrow \frac{a+b}{a+2b}$$ Por lo $\frac{2}{5} \rightarrow \frac{7}{5} \rightarrow \frac{7}{12}$.

La repetición de este proceso parece a un mapa de cada fracción de $\phi$ e $\frac{1}{\phi}$:

$$ \begin{array}{ccccccccccc} \frac{2}{5} & \frac{7}{5} & \frac{7}{12} & \frac{19}{12} & \frac{19}{31} & \frac{50}{31} & \frac{50}{81} & \frac{131}{81} & \frac{131}{212} & \frac{343}{212} & \frac{343}{555} \\ 0.4 & 1.40 & 0.583 & 1.58 & 0.613 & 1.61 & 0.617 & 1.62 & 0.618 & 1.62 & 0.618 \\ \end{array} $$ Otro ejemplo: $$ \begin{array}{ccccccccccc} \frac{11}{7} & \frac{18}{7} & \frac{18}{25} & \frac{43}{25} & \frac{43}{68} & \frac{111}{68} & \frac{111}{179} & \frac{290}{179} & \frac{290}{469} & \frac{759}{469} & \frac{759}{1228} \\ 1.57143 & 2.57 & 0.720 & 1.72 & 0.632 & 1.63 & 0.620 & 1.62 & 0.618 & 1.62 & 0.618 \\ \end{array} $$

Q. Por qué?

Answer 1

En lugar de representar la $\frac{a}{b}$ como una fracción, la representan como el vector $\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$.

Entonces, todo lo que están haciendo para generar la secuencia es repetida multiplicando por la matriz de $\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$. Uno de los vectores propios de esta matriz es $\left( \begin{array}{c} \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 \end{array} \right)$, que tiene una pendiente igual a la "proporción áurea".

Este es un ejemplo de un lineal de sistema dinámico discreto, y la convergencia asintótica a un autovector es una de las típicas cosas que pueden suceder. También se puede adivinar en el comportamiento a largo plazo del sistema por buscar en su campo de vectores.

https://kevinmehall.net/p/equationexplorer/#%5B-100,100,-100,100%5D&v%7C(x+y)i+(x+2y)j%7C0.1

En este caso, de ver todo lo que se inicia en el primer cuadrante diverge a infinito a lo largo de la ruta de acceso de la autovector he mencionado antes. Para la secuencia, que comenzó a las $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$, que se encuentra en el primer cuadrante.

Nota al margen: no Hay nada particularmente especial sobre la proporción áurea, la matriz anterior, o el punto de partida de $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ para esta secuencia. Usted puede cambiar el punto de partida para estar en el cuadrante negativo si desea que discurren en la dirección opuesta, y usted puede cambiar la matriz si desea divergen a lo largo de una manera diferente pendiente autovector.

Answer 2

Deje $f$ ser el mapa que lleva a $a/b$ a $(a+b)/(a+2b)$. Podemos probar inductivamente que el $n$th iteración de este proceso da $$f^n(a/b) = \frac{F_{n}a + F_{n+1}b}{F_{n+1}a + F_{n+2}b},$$ donde $F_n$ es el $n$ésimo número de Fibonacci. Desde $b$ es siempre distinto de cero, asintóticamente, esta relación de enfoques $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{F_{n}a + F_{n+1}b}{F_{n+1}a + F_{n+2}b} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}} = \varphi^{-1},$$ por la fórmula de Binet. El argumento de la extraña convergents es básicamente idéntico.

Edit: Como M. de los puntos de Invierno en los comentarios, el límite último es un poco complicado. Usted puede seguir los pasos que se indican en los comentarios, o aquí es una alternativa. Dado fracciones $a/c < b/d$, el desarrollo que satisface la desigualdad $$\frac{a}{c} < \frac{a+b}{c+d} < \frac{b}{d}.$$ En nuestro caso, hemos $$\frac{F_na}{F_{n+1}a} < \frac{F_na + F_{n+1}b}{F_{n+1}a+F_{n+2}b} < \frac{F_{n+1}b}{F_{n+2}b},$$ así, el resultado sigue por el teorema del sándwich.

Answer 3

Sus numeradores y denominadores siga la misma relación recursiva que define la secuencia de Fibonacci. I. e. cada vez que haga un nuevo número (ya sea un nuevo numerador o un nuevo denominador), el nuevo número es igual a la suma de los dos más recientes realizados previamente números.

Cualquier secuencia que sigue a esta relación recursiva (la secuencia de Fibonacci, siendo el más famoso), como término general, $$ x\cdot \varphi^n + y\cdot (1-\varphi)^n $$ donde los valores exactos de $x$ e $y$ se decidió por lo que los dos primeros números.

Ahora tenga en cuenta que $1-\varphi$ es un número entre $-1$ e $0$, lo $(1-\varphi)^n$ se vuelve muy pequeño como $n$ crece. Es decir, sus dos números de teléfono se acercan más y más cerca de ser puro powerss de la proporción áurea. Y puesto que son (cerca de ser puro poderes de la proporción áurea, con exponentes uno aparte, la relación entre ellos es (cerca de) la proporción áurea. Esta conclusión es válida para cualquier punto de partida que no da $x = 0$, que aparte de la partida a $\frac 00$ es imposible de hacer con números enteros.

Answer 4

Considerar en primer lugar la secuencia de cada segundo de la fracción: $$ \frac{a_{2n+2}}{b_{2n+2}} = \frac{a_{2n}+b_{2n}}{a_{2n}+2b_{2n}} = \frac{\frac{a_{2n}}{b_{2n}} +1}{\frac{a_{2n}}{b_{2n}} + 2} = f(\frac{a_{2n}}{b_{2n}}) $$ donde $f(x)$ se define como $$ f(x) = \frac{x+1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2} $$ para $x \ge 0$.

El uso de la monotonía de $f$ a mostrar que $\left(\frac{a_{2n}}{b_{2n}}\right)_n$ es monótona y acotada de la secuencia, y determinar su límite de $L$ como el (único positivo) punto fijo de $f$.

Luego de considerar las fracciones con impar índices: $\frac{a_{2n}}{b_{2n}} \to L$implica $$ \frac{a_{2n+1}}{b_{2n+1}} = \frac{a_{2n} + b_{2n}}{b_{2n}} \a L + 1 \, . $$

Answer 5

Está reexpresando la secuencia de Fibonacci y, según la teoría de las recurrencias lineales, los términos son casi proporcionales a los poderes de la raíz más grande de la ecuación característica.

PS

Por lo tanto, la relación de términos sucesivos tiende rápidamente a $$\phi^2-\phi-1=0.$ .