¿Existe una construcción geométrica de grupos hiperbólicos de Kac-Moody?

Question

Al igual que la teoría de las dimensiones finitas álgebras de Lie simples está conectada con la geometría diferencial y la física a través de la teoría de los grupos de Lie simples, la teoría de álgebras de Lie afines se conectó con la geometría diferencial y la física a través de la constatación de que se trata de las álgebras de Lie de extensiones centrales de grupos de bucles:

• Andrew Pressley y Graeme Segal, Grupos de bucles , Oxford U. Press, Oxford, 1988.

• Graeme Segal, Grupos de bucles .

De hecho, no es exagerado decir que las extensiones centrales de los grupos de bucles son a las cuerdas lo que los grupos de Lie simples son a las partículas.

Las álgebras de Lie simples de dimensión finita y las álgebras de Lie afines son casos especiales de Álgebras de Kac--Moody . La siguiente clase de álgebras de Kac--Moody son las álgebras hiperbólicas de Kac--Moody y estos han sido completamente clasificados:

• Lisa Carbone, Sjuvon Chung, Leigh Cobbs, Robert McRae, Debajyoti Nandi, Yusra Naqvi y Diego Penta, Clasificación de los diagramas hiperbólicos de Dynkin, longitudes de las raíces y órbitas del grupo de Weyl .

Mi pregunta es si se conoce una construcción geométrica de alguno de los correspondientes grupos hiperbólicos de Kac--Moody. Dado que después de "partícula" y "cuerda" se dice naturalmente "2-brana", uno podría esperar ingenuamente que estén conectados con teorías de 2-brana, o quizás con teorías de campo de 2+1 dimensiones. Pero quizá sea una idea equivocada.

Jacques Tits dio una forma famosa de construir grupos Kac--Moody, no sólo sobre los números reales y complejos, sino sobre anillos conmutativos arbitrarios:

• Jacques Tits, Unicidad y presentación de grupos de Kac-Moody sobre campos, J. Álgebra 105 (1987), 542-573.

Esto se ha simplificado para una cierta clase de grupos hiperbólicos de Kac--Moody, a saber, los de lazo simple:

• Daniel Alcock, Lisa Carbone, Presentación de grupos hiperbólicos de Kac-Moody sobre anillos .

Esta construcción no me parece "geométrica": es en términos de generadores y relaciones.

Sólo por diversión, aquí están los diagramas de Dynkin de las álgebras de Lie simples de dimensión finita:

Aquí están los diagramas de Dynkin de las álgebras de Lie afines no retorcidas:

y los retorcidos:

Un diagrama de Dynkin describe una álgebra hiperbólica de Kac--Moody si no está entre las mostradas anteriormente, pero cada subdiagrama conectado adecuado lo está. Hay infinitas álgebras hiperbólicas de Kac--Moody cuyos diagramas de Dynkin tienen $2$ nodos, pero sólo 238 con $\ge 3$ nodos. Los de cordón simple fueron muy bien dibujados por Allcock y Carbone:

El último de estos diagramas se llama $\mathrm{E}_{10}$ y hay muchas conjeturas interesantes sobre su papel en la física; véase el artículo de Allcock y Carbone para las referencias. Estas podrían ser pistas para una construcción geométrica del grupo correspondiente.

Answer 1

Gracias por las preguntas. La configuración inicial para la construcción de tipo Chevalley (exponenciando a partir del álgebra de Kac-Moody) para todos los grupos de Kac-Moody simetrizables (incluyendo el caso hiperbólico) sobre campos arbitrarios fue elaborada con Howard Garland ( Existencia de retículos en grupos Kac-Moody sobre campos finitos , Com. Cont. Math. 5 no 6 (2003) pp 1-55). Para los grupos de Kac-Moody sobre Z, se resume en mi trabajo con Frank Wagner ( Singularidad de los grupos hiperbólicos de Kac--Moody sobre $\mathbb{Z}$ arXiv:1512.04623v2 [math.GR]) donde comparamos la construcción de Chevalley con la presentación finita para el grupo de Tits obtenida en el trabajo con Daniel Allcock. Actualmente se está elaborando la teoría completa de Chevalley para los grupos de Kac-Moody. En un trabajo conjunto con Alex Feingold y Walter Freyn, hemos construido una acción de los grupos hiperbólicos de Kac-Moody sobre C en una estructura simplicial en el álgebra de Lie de la forma compacta. Este complejo simplicial tiene la estructura de un edificio de Tits, pero está construido geométricamente en términos de subálgebras de Cartan, en lugar de en términos de cosets de grupos como el edificio de Tits habitual. Este artículo también se publicará en breve. Hay una construcción algebro-geométrica de grupos de Kac-Moody por Olivier Mathieu, Construcción del grupo Kac-Moody y aplicaciones C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 306 (1988), no. 5, 227-230. El libro de Kumar Shrawan Kumar, Grupos Kac-Moody, sus variedades bandera y teoría de la representación , Progress in Mathematics, vol. 204, Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002 tiene mucha información útil. A pesar del duro trabajo de muchas personas, no tenemos una construcción uniforme de los grupos hiperbólicos de Kac-Moody "sobreextendidos" a partir de los correspondientes grupos de Lie simples de dimensión finita. Como habrás visto, sólo algunos de los diagramas de Dynkin hiperbólicos son "sobreextensiones" de los de dimensión finita. Las construcciones descritas anteriormente son "uniformes" (o más bien formales) para todos los grupos hiperbólicos de Kac-Moody. Las construcciones individuales "tipo zoo" podrían ser muy reveladoras, pero actualmente no hay ejemplos.