Sea $f$ y $g$ sean funciones racionales complejas (de grado $\geq 2$ si eso ayuda). ¿Qué se puede decir de la relación entre $J(fg)$ y $J(gf)$ los conjuntos Julia de las funciones compuestas $f \circ g$ y $g \circ f$ ?
Si no me equivoco, $f$ restringe a un mapa $J(gf) \to J(fg)$ y $g$ restringe a un mapa $J(fg) \to J(gf)$ . Así que $J(fg)$ y $J(gf)$ se proyectan entre sí de una manera particular (y, de hecho, de una manera que conmuta con las acciones de $fg$ en $J(fg)$ y $gf$ en $J(gf)$ ). Dado que los conjuntos de Julia son completamente invariantes, el mapa restringido $f: J(gf) \to J(fg)$ es $deg(f)$ -y viceversa.
Así que hay algunos tipo de relación entre los dos conjuntos.
Si $f$ o $g$ tiene grado uno, entonces $J(fg)$ y $J(gf)$ son "isomorfas", en el sentido de que existe una transformación de Möbius que traslada una a la otra. Así, el ejemplo no trivial más sencillo sería tomar $f$ y $g$ sea de grado 2. No conozco una forma de calcular, digamos, el ejemplo $f(z) = z^2$ y $g(z) = z^2 + 1$ . Eso significaría calcular los conjuntos Julia de $gf(z) = z^4 + 1$ y $fg(z) = z^4 + 2z^2 + 1$ .
Me temo que mi pregunta no es del todo precisa. Pero aquí están algunas de las cosas que yo valoraría en una respuesta: teoremas sobre lo que $J(fg)$ y $J(gf)$ en común, ejemplos que muestren lo diferentes que pueden ser, imágenes de $J(fg)$ y $J(gf)$ para determinadas funciones $f$ y $g$ y referencias sobre dónde puedo encontrar más información (especialmente accesible para los no especialistas). Gracias.
0 votos
Esto puede no ser cierto si las funciones tienen polos. Supongamos que tenemos un punto tal que $f$ siguió llevándolo muy cerca del infinito y $g$ seguía llevándoselo cerca $0$ entonces estaría en $J(gf)$ pero $f$ de ella no estaría en $J(fg)$ . ¿Se les permite tener postes?
3 votos
En cuanto a si pueden tener polos: f y g son funciones racionales con coeficientes complejos, así que en general tienen polos en el sentido habitual del análisis complejo. Sin embargo, creo que suele ser mejor interpretarlas como mapas holomorfos de la esfera de Riemann a sí misma, en cuyo caso no hay nada especial en el punto $\infty$ .
0 votos
Will, no entiendo tu argumento. ¿Puedes producir un contraejemplo específico? Cuando intento convertir lo que has escrito en un contraejemplo, no lo consigo. Y pensaba que tenía una prueba (que te proporcionaré si quieres).
0 votos
He estado generando fractales por el método de Newton de $H(z)=f(g(z))-g(f(z))$ y más a menudo $S(z)=f(g(z))-g(f(z))-z$ en mi blog, que (voy a enlazar a una entrada, no he estado haciendo estos recientemente, pero si usted navega alrededor de que usted encontrará más): goo.gl/7G6Za
1 votos
Estaba pensando en la definición errónea de conjunto de Julia, la que sólo tiene sentido para polinomios porque considera órbitas acotadas
2 votos
¿Qué tipo de propiedades le interesan? Como usted señala, cada conjunto de Julia es una cubierta ramificada del otro, por lo que las estructuras locales serán muy similares, pero las estructuras globales pueden ser muy diferentes.
0 votos
Creo que la de Jim Belk es esencialmente la respuesta más general: son cubiertas ramificadas unas de otras. Si tienes más información sobre los puntos críticos de $f$ y $g$ tanto si están en el conjunto de Julia como en el de Fatou, darán tipos muy diferentes de cubiertas ramificadas. En el caso de los polinomios, si se puede obtener una buena superficie de Riemann para uno u otro $f^{-1}$ o $g^{-1}$ (por ejemplo cortando a lo largo de los rayos externos) podría darte una descripción sólida de la relación de cobertura. Pero dudo que se pueda decir mucho "en general", es decir, sin hacer referencia a propiedades dinámicas particulares de $f$ y $g$ .
0 votos
Gracias, Jim y Jacques. En respuesta a tu pregunta, Jim, me interesa más o menos cualquier propiedad que se conozca - por ejemplo, resultados sobre su parecido local, o ejemplos de su falta de parecido global. O si puedes indicarme una referencia, también estaría bien.