Ejemplos de geometría aritmética

Question

(Este está inspirado en la geometría Algebraica ejemplos.)

Quiero recoger aquí (contador)en los ejemplos de la aritmética geometría.

1. Curvas de violar el principio de Hasse: La Selmer curva de $3X^3 + 4Y^3 + 5Z^3 = 0$. Es un elemento no trivial de la Tate–Shafarevich grupo de la curva elíptica $3\cdot4\cdot5\cdot X^3 + Y^3 + Z^3 = 0$. También es un ejemplo de un abelian variedad para que la finitud de Sha es conocido. De hecho, $|\mathrm{III}(E/\mathbf{Q})| = 3^2$.

2. No isogeneous curvas elípticas tener el mismo Hasse–Weil $L$serie: $y^2 = x^3 \pm ix + 3$ sobre $K = \mathbf{Q}(i)$ (cf. Cornell–Silverman–Stevens, p. 32).

3. Contraejemplo a la Naturaleza de la norma teorema de no-cíclico de las extensiones: $L = \mathbf{Q}(\sqrt{13},\sqrt{17})$ Galois con $G =\mathbf{Z}/2 \times \mathbf{Z}/2$, ver Cassels–Fröhlich, p. 360, Ejercicio 5.3.

tbc

Answer 1

La ecuación de Diophantine $x^2 - 34y^2 = -1$ no tiene ningún entero de soluciones, aunque no tiene soluciones en ${\bf Z}_p$ para todos los $p$ (incluyendo $p = \infty$ si entendemos "${\bf Z}_\infty$" as $\bf R$). Este es el primer ejemplo de la insuficiencia del principio de Hasse para al menos el caso de la Fermat-ecuación de Pell $x^2 - \Delta y^2 = \pm 1$ (con $\Delta $ fijo entero positivo que no es un cuadrado), o de forma equivalente, la existencia de unidades de norma $-1$ en ${\bf Z}[\sqrt{\Delta}]$. También puede ser considerado como el primer ejemplo de un elemento no trivial de la "Tate-Šafarevič grupo" para el torus $x^2 - \Delta y^2 = +1$ (desde $x^2 - \Delta y^2 = -1$ es el principal espacio homogéneo para que el toro).

[NOTA: la ecuación de $x^2 - 34y^2 = -1$ tiene racionalde soluciones, como $(x,y) = (5/3,1/3)$. De hecho, Minkowski ya demostró que la una ecuación cuadrática en cualquier número de variables tiene una solución racional el fib tiene solución en cada una de las ${\bf Q}_p$ y en ${\bf R}$; Hasse generalizada esta de ${\bf Q}$ a un número arbitrario de campo.]

[Añade más adelante:] En general $x^2 - \Delta y^2 = -1$ tiene soluciones en cada ${\bf Z}_p$ iff $\Delta$ es un producto de números primos congruentes a $1 \bmod 4$ o dos veces al de dicho producto; equivalentemente, iff $\Delta$ es la suma de dos coprime plazas. Si tal $\Delta$ es de la forma $n^2 \pm 2$ a continuación, $(n + \sqrt\Delta)^2 / 2$ es una unidad de norma $+1$, y es fundamental a menos $\Delta=2$. Esto representa una infinidad de ejemplos, incluyendo los dos primeros, $\Delta = 34 = 5^2 + 3^2 = 6^2 - 2$ y $\Delta = 146 = 11^2 + 5^2 = 12^2 + 2$ (ver OEIS secuencia A031398). La infinitud puede ser demostrado con un polinomio de identidad, tales como $$ (2t^2+2t+1)^2 + (2t+1)^2 = (2t^2+2t+2)^2 - 2 $$ que recupera $\Delta = 34$ para $t=1$. Es entonces una pregunta natural preguntar: como $M \rightarrow \infty$, entre los positivos $\Delta < M$ que son las sumas de dos coprime plazas, por lo que la fracción no $x^2 - \Delta y^2 = -1$ tiene soluciones? Supongo que se cree, pero no sabe, que no es positivo limitar estrictamente menor que $1$.

Answer 2

Es ampliamente utilizado hecho de que un complejo de toro con "complejo de multiplicación" es algebraica (es decir, un abelian variedad) en el sentido de la GAGA teorema; la prueba que va a través de Riemann formas. Pero el análogo más de $p$-ádico campos es falso: no existe no algebraizable formal CM abelian esquema de más de un $p$-ádico discreta valoración del anillo, por lo que (el uso de Nerón-Ogg-Shafarevich) genéricas de la fibra en el sentido de Raynaud es una rígida-analítica suave conectado grupo apropiado con el "complejo de multiplicación", sin embargo, no es algebraica (en el sentido de $p$-ádico GAGA).

Más específicamente, para $p \equiv \pm 2 \bmod 5$, considerar la simple abelian superficie de más de $\kappa = {\mathbf{F}}_{p^2}$ con Weil número $\pm p \zeta_5$ y endomorfismo anillo de $\mathbf{Z}[\zeta_5]$ (esto existe por parte de Honda-Tate teoría, y para cada signo es único hasta el $\mathbf{Z}[\zeta_5]$-lineal isogeny). Esto lleva a una formal abelian esquema de $A$ con acción por $\mathbf{Z}[\zeta_5]$ sobre $W(\kappa)$. Pero para $K := W(\kappa)[1/p]$ la inducida $K$-lineal de la acción de $\mathbf{Q}(\zeta_5)$ en el 2-dimensional $K$-espacio vectorial ${\rm{Lie}}(A)[1/p]$ es administrado por un par de incrustaciones $\mathbf{Q}(\zeta_5) \rightrightarrows K$ relacionados a través de la compleja conjugación, por lo que no es un CM tipo y, por tanto, $A$ no es algebraico.

Para más detalles, véase 4.1.2 (arriba a través de 4.1.2.3) en este enlace.

Answer 3

La representación residual de $G_{\mathbb Q_{p}}$ conectado a un eigencuspform es marcadamente diferente dependiendo de si $p$ divide el coeficiente de $a_{p}$, la no-ordinaria caso, o no, el caso ordinario (la representación es reducible si y sólo si $p$ no divide $a_{p}$; esto se traduce en comportamientos muy diferentes para $p$-ádico familias de cuspforms). Pero, ¿qué $p$ divide $a_{p}$ significa? Esto significa más precisamente, después de la elección de una incrustación $i_{p}$ de % de $\bar{\mathbb Q}$ dentro $\bar{\mathbb Q}_{p}$, la $p$-ádico norma de $i_{p}(a_{p})$ no es 1.

El eigencuspform $f=q+\alpha q^{2}-\alpha q^{3}+(\alpha^{2}-2)q^{4}+(-\alpha^{2}+1)q^{5}+\cdots\in S_{2}(\Gamma_{0}(389))$ donde $\alpha$ es una raíz de $x^{3}-4x-2$ es $5$común para dos de las incrustaciones de $\mathbb Q[X]/(X^3-4X-2)$ a $\bar{\mathbb Q}_{5}$, pero no para el tercero (porque 1 es una raíz de $x^{3}-4x-2$ modulo 5).