Esta pregunta es corta pero va al grano: ¿cuál es el marco abstracto "correcto" en el que Mayer-Vietoris es sólo una consecuencia trivial?
Respuestas
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La secuencia de Mayer-Vietoris es una consecuencia de la relación entre la cohomología de gavillas y la cohomología de preseaf (también conocida como cohomología de Cech).
Dejemos que $X$ sea un espacio topológico (o cualquier topos), $\mathcal U$ una cubierta de $X$ . Sea $\mathop{\rm Sh}X$ sea la categoría de láminas sobre $X$ y $\mathop{\rm PreSh}X$ la categoría de preseaves. La incrustación $\mathop{\rm Sh}X \subseteq \mathop{\rm PreSh}X$ es exacto a la izquierda; sus funtores derivados envían una gavilla $F$ en los presheaves $U \mapsto \mathrm H^i(U, F)$ . Para cualquier presheaf $P$ se puede definir la cohomología de Cech $\mathrm {\check H}^i(\mathcal U, P)$ de $P$ por las fórmulas habituales (esto se hace a menudo sólo para gavillas, pero escudriñando la definición, se ve que la condición de gavilla no se utiliza nunca). Se demuestra que el $\mathrm {\check H}^i(\mathcal U, -)$ son los funtores derivados de $\mathrm {\check H}^0(\mathcal U, -)$ y, por supuesto, para una gavilla $F$ , $\mathrm {\check H}^0(\mathcal U, F)$ coincide con $\mathrm H^0(\mathcal U, F)$ . La secuencia espectral de Grothendieck de esta composición, en el caso de una cobertura con dos elementos, da la secuencia de Mayer--Vietoris.
También existe una secuencia espectral para cubiertas cerradas finitas, que se obtiene como en la respuesta del anónimo.
Supongo que esto también se puede interpretar como lo hace Tilman, en un lenguaje diferente (no soy topólogo).
user4183
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¿Quizás esté buscando la secuencia espectral de Mayer-Vietoris, la secuencia espectral de homología para un colímite de homotopía? La secuencia MV es una secuencia espectral de dos líneas, por tanto una secuencia exacta.
La forma general es $$ E^2_{p,q} = colim_p H_q(X_\bullet) \Rightarrow H_{p+q}(hocolim X_\bullet) $$ Se puede pensar en esto como un functor compuesto secuencia espectral.
Steve Madsen
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231
Esta respuesta está relacionada con la de Tilman: Deja que $U$ y $V$ sean los conjuntos abiertos que cubren $X$ . Para $S$ un subconjunto abierto de $X$ , dejemos que $\mathbb{Z}_S$ sea el pushforward a $X$ de la gavilla de funciones localmente constantes de valor entero sobre $S$ . Entonces tenemos una breve secuencia exacta de láminas
$$0 \to \mathbb{Z}_X \to \mathbb{Z}_U \oplus \mathbb{Z}_V \to \mathbb{Z}_{U \cap V} \to 0$$
y la correspondiente secuencia exacta larga es la secuencia de Mayer-Vietores en cohomología.
Esta respuesta se puede generalizar fácilmente a cualquier cubierta abierta de $X$ : se tiene una larga secuencia exacta de gavillas:
$$0 \to \mathbb{Z}_X \to \bigoplus \mathbb{Z}_{U_i} \to \bigoplus \mathbb{Z}_{U_i \cap U_j} \to \cdots$$
que da una secuencia espectral
$$\bigoplus H^p(U_{i_1} \cap U_{i_2} \cap \cdots U_{i_q}) \to H^{p+q}(X).$$
Jhonny D. Cano -Leftware-
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165
He aquí una respuesta algo diferente a las ya dadas.
Asociada a cualquier cuadrado de pullback de homotopía, hay una larga secuencia exacta de grupos de homotopía que suele llamarse secuencia de Mayer-Vietoris. Proviene de entrelazar las largas secuencias exactas para, por ejemplo, los dos mapas verticales del cuadrado, que tienen fibras homotópicas equivalentes. (Este tejido es un ejercicio estándar de álgebra homológica, y aparece en alguna parte del libro de Hatcher...)
Ahora, para construir la secuencia de Mayer-Vietoris en cohomología para un complejo CW X escrito como una unión de subcomplejos $X = A\cup B$ , sólo hay que tener en cuenta que el cuadrado de empuje homotópico formado por $A\cap B$ , A, B, y X se convierte en un cuadrado de homotopía después de aplicar Map(-, K(G, n)), donde G es el grupo de coeficientes que está utilizando. La secuencia de homotopía de Mayer-Vietoris es ahora precisamente la secuencia M-V en cohomología.
(Desgraciadamente, para un valor fijo de n esto sólo te da una parte de la secuencia).
Sería interesante ver una variante de esto para la homología, ¿tal vez utilizando el producto simétrico infinito? Supongo que el lugar para buscar sería el libro de Aguilar-Gitler-Prieto, donde la homología se introduce completamente en términos de productos simétricos. Parece que la parte relevante no aparece en la vista previa de Google.
