¿Idea subyacente para la función L (automórfica)?

Question

Edit: por Lo que con unos meses más de matemáticas bajo mi cinturón, reconozco que algunos de los problemas con esta pregunta. Todavía espero una respuesta, así que permítanme decir algunas cosas.

Dentro de la Langlands filosofía, L-funciones asociadas a diferentes automorphic representaciones son las invariantes que deben parametrizar una muy complicados y de gran alcance de la interacción entre automorphic representaciones de los grupos separados. Por supuesto, esto se refiere a Functoriality.

Me sale que la conjetura (es decir: la definición de la Selberg clase) es (vagamente) que el buen L-funciones encontradas en la teoría de números y la geometría algebraica debe venir de automorphic objetos de alguna manera, pero la definición de la automorphic L-función es todavía un misterio para mí.

Puedo leer las definiciones, y la $\mathrm{GL}_n$ teoría es verdaderamente hermoso. Pero todo parece como una gran analogía chase, después de haber visto la utilidad de la naturaleza de Euler de los productos y de Dirichlet de la serie en el pasado. En particular, no veo por qué sería de esperar una conexión entre estos L-funciones y una correspondencia tan vasto como functoriality sugiere.

Hay un resultado más satisfactorio racional para la definición de automorphic L-funciones de "recibimos Euler productos, y, por analogía, que debe ser importante"?

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Escribir el prólogo, soy un estudiante de automorphic teoría de la representación, y sé muy bien la definición de la L-función de adjunto a un automorphic representación.

Estoy intentando dar una charla sobre la pregunta en el título de un grupo de estudiantes de posgrado y jóvenes investigadores. Mientras que la historia y la ubicuidad de la L-funciones es un aspecto de lo que quiero explicar, hay una persistente pregunta en la parte de atrás de mi mente que no sé cómo acercarse a:

¿Por qué es que una de Dirichlet de la serie con la continuación analítica y funcional de la ecuación es un potente idea? ¿Qué es un unificador de la idea detrás de estas construcciones?

Para muchos (todos?) las instancias de L (o zeta)-funciones en la teoría de números, teoría de la representación, (Artin, Hasse-Weil, Dirichlet, etc.) y tal vez muchos otros campos sé menos sobre (Selberg de la función zeta) , la esperanza es que estos son todos los casos de automorphic L-funciones y se relacionan de maneras muy profundas a un automorphic representación.

Pero en el automorphic lado de las cosas, no entiendo lo de la L-función en realidad es. A la inversa teoremas me da una respuesta parcial en el que la L-función de algunas local-global (objeto de La definición como un producto de Euler), que codifica, junto con sus giros, automorphy de la representación.

Entonces, esto me lleva a otras preguntas para otro momento, y todavía parece más acerca de por qué la L-función es útil, a diferencia de lo que la L-función es.

Mi pregunta, entonces, es

¿Cuál es la (conjetural) que subyacen a la idea de lo que es un L-función, ya sea en el automorphic caso o, más en general? Hay un sentido de por qué este tipo de construcción ofrece una poderosa manera de conectar las diferentes áreas de las matemáticas?

He leído Protuberancia del Libro Automorphic Formas y Representaciones, un par de artículos tales como Iwaniec y Sarnak agradable artículo Perspectivas en la Analítica, la teoría de la L-funciones, así como muchos de los brillantes respuestas a preguntas relacionadas con el aquí en la MO.

Como esta es mi primera pregunta, pido disculpas si mi pregunta no es clara, o es duplicar a una pregunta que no he encontrado aún. Gracias por su ayuda!

Edit: En términos de una respuesta, permítanme decir esto: tenía la esperanza de que hay una forma conocida, tal vez en términos del grupo en cuestión, a ver por qué la L-función de la construcción debe ser tan fundamental para muchas de las teorías.

Si no hay un conocido respuesta en este sentido, tal como fue indicado por @Mishkin la respuesta, entonces voy a ser feliz con la intuición o comprensión heurística que es en esta dirección. Por favor, hágamelo saber si esto es todavía demasiado amplias o poco claro. Gracias!

Answer 1

Esto no es exactamente una respuesta, pero debe ilustrar cómo tentativo de la opinión de expertos en L-funciones es, cuando se trata de explicar lo que L-función realmente son. Dos citas del primer volumen en la teoría de los números por Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa y Takeshi Saito:

Parece como si la tierra en la $\zeta$ funciones originalmente vienen la forma es un mundo desconocido que rige tanto el mundo de los números reales y el mundo de la p-ádico números.

,

Hemos llamado a este capítulo "$\zeta$" en lugar de "$\zeta$ funciones". Nosotros dejó caer la palabra "funciones" porque nos sentimos más y más a medida que estudio que ellos son algo más que funciones.

Answer 2

No estoy realmente seguro de lo que estás buscando, pero aquí están algunos pensamientos, y si quieres que intente ampliar algún aspecto, hágamelo saber.

Como una analítica gadget

$L$-funciones proporcionan una manera de utilizar el complejo de análisis para el estudio de objetos algebraicos. Por qué son buenas funciones analíticas de la teoría de los números? Bien, supongamos que usted tiene algo de buen número de teóricos objeto de $X$. A continuación, a menudo se puede esperar algún tipo de local-global principio, significando $X$ es en su mayoría (o completamente) determinado por el asociado local objetos de $X_p$ a todos los números primos $p$ (bueno, a veces se debe incluir el primer poderes). De hecho, a menudo sucede (Chebotarev densidad y similares), que sólo necesita conocer $X_p$ para un conjunto de números primos lo suficientemente grandes densidad.

Así que, si quieres una analítica de la función de tomar ventaja de local-global de principios, no tiene sentido buscar un tipo de función que tiene un "producto de Euler," de modo que los objetos pueden ser estudiadas en términos de los locales correspondientes de la analítica de datos. En mi opinión, esta es la primera propiedad que usted desea. Para la convergencia de este "producto de Euler," usted necesita los factores locales que están cerca de la 1 (al menos en algunos de los grandes de dominio), y algo así como un polinomio o serie geométrica es una de las cosas más simples que usted puede adivinar. Para la analítica de razones, usted también quiere ser capaz de controlar los ceros/polos de los factores locales, lo que hace que los polinomios en $q^{-s}$ útil.

Desde otro punto de vista, si tienes algún número teórico de la secuencia de $(a_n)$, y de la que desea hacer una analítica de la función fuera de él, ¿cómo puede hacerlo? Bien, la cosa más natural que hacer es utilizar una serie. ¿Cuáles son las opciones? El poder de la serie? Serie de Fourier? Dirichlet de la serie? Si $(a_n)$ es una buena progresión aritmética (multiplicativo, el polinomio de crecimiento) no suelen tener mucho convergencia con el poder o la serie de fourier, y lo que es más importante, usted no recibe el producto de Euler.

Como una herramienta para functoriality

Yo no (totalmente), creo que de $L$-funciones como algunos mundo mágico donde todo se atan juntos (a pesar de que son muy mágica). Pienso en ellos como una herramienta útil para comparar diferentes objetos que se han relacionado con las representaciones (aunque algunas personas pueden tomar el punto de vista opuesto). Muchas interesantes algebraicas objetos naturalmente, las representaciones asociadas a ellos (o ya son representaciones de sí mismos), y la idea central de Langlands' conjeturas es que automorphic representaciones de GL($n$) es la madre de todos "aritmética" (Galois) representaciones. Significado, para algunos aritmética objeto de $X$, asociamos $n$-representaciones tridimensionales (a veces, sólo a los locales), y estos deben corresponder a automorphic representaciones de GL($n$).

Para el functoriality aspectos, las dos propiedades clave de $L$-son funciones de la suma ($L(s,\rho_1 \oplus \rho_2) = L(s, \rho_1)L(s,\rho_2)$) y inductivity ($L(s,I_{E}^F(\rho)) = L(s, \rho)$), y para ello no importa lo que la forma precisa de los factores locales son. Aproximadamente desea que sea un "polinomio característico" de la representación (al menos para un finito-dimensional Galois representación de---en el automorphic lado, desea que el análogo cosa para Langlands parámetro) de modo que la actividad se mantenga.

Recordemos que la correspondencia entre Galois y automorphic representaciones dice que las representaciones que debe localmente corresponden en casi todos los lugares, por lo que basta con mirar unramified lugares, donde ambas partes deben reducir a la 1-dimensional caso de locales de campo de clase de teoría. A continuación, la aditividad de $L$-funciones dice el $L$-funciones corresponden. Por supuesto, el principal problema en functoriality está mostrando que la $\pi = \otimes \pi_v$ es (a nivel global) automorphic---la construcción de la $\pi_v$ en casi todas las $v$ es fácil. Luego inductivity es útil para obtener compatibilidad con cambio de base.

Nota: no todos los de la serie de Dirichlet formado a partir de la aritmética, los objetos deben dar automorphic $L$-funciones. Por ejemplo, Koecher-Maass serie (construido con los coeficientes de Fourier de Siegel formas modulares) y zeta funciones de binario formas cúbicas no tiene Euler productos. También, Zagier del "Ingenuo BSD" trabajo considera las variaciones de $L$-de la serie de curvas elípticas que tienen Euler productos, pero no (al parecer) meromorphic continuación a $\mathbb C$. Así que es mejor mirar las cosas, donde, a decir $a_n$'s son multiplicativos, y el $a_p$'s son los rastros de las representaciones.

Edit: Después de releer mi respuesta, me doy cuenta de que puede que no haya escrito un par de conclusiones de forma explícita:

• El anterior razonamiento más o menos motiva la definición de $L$-funciones de representaciones de Galois. El automorphic definición, a continuación, motivada por una combinación del resultado de Hecke que da $L$-funciones de las formas modulares como parte integral de las representaciones combinado con las predicciones de los locales de Langlands correspondencia.

• Mi punto de vista es que la razón por la $L$-funciones de conectar las diferentes ares de las matemáticas es porque reflejan cosas como el mundial de Langlands correspondencia. Por desgracia, no tengo una buena explicación intuitiva de por qué Langlands' conjeturas debe ser cierto (se puede hacer la observación trivial que se generaliza campo de clase de teoría, pero que no responde a por qué en mi mente).

Answer 3

Creo que la pregunta '¿cuál es la idea subyacente de una L-función' es más bien subjetiva, así que voy a intentar una respuesta en términos de una lección de historia:

Historia: En 1644 lo que ahora se conoce como el Problema de Basilea pidió el valor exacto de $\zeta(2)$. Esta parece una pregunta natural a considerar desde $\zeta(s)$ converge para $\text{Re}(s)>1$. En 1735, Euler dio la respuesta $\pi^2/6$, y esto le hizo famoso. Como sabemos, él prosiguió con el estudio de $\zeta(s)$ como una función de un número real, que nos da el producto de Euler y sus valores especiales como los números de Bernoulli.

En la década de 1790 Gauss y otros, hicieron conjeturas sobre el crecimiento de $\pi(x)$, el número de números primos menos de $x$. A continuación, en 1837 Dirichlet introdujo lo que llamamos de Dirichlet de la serie, y el uso de sus nonvanishing en $s=1$ demostró su teorema de los números primos en progresiones aritméticas. Luego, en 1859 Riemann estudió $\zeta(s)$ como una función de una variable compleja, dando su funcional de la ecuación y funcional de la ecuación. Este fue el estudio de 'números primos menos de una magnitud dada'. Tener un buen control sobre la distribución de los ceros (incluyendo la RH) puede conducir a mejores estimaciones para el crecimiento de los números primos. Como la prueba final de la Primer Número Teorema esperó hasta 1896 por el trabajo de Hadamard y de la Vallée-Poussin.

Alrededor de 1920 Hecke escribió su generalización de Dedekind (1836) y de Dirichlet de la serie, mientras que la prueba de un funcional de la ecuación de la Clase y el Número de la Fórmula. Luego, en 1923, Artin presentó su 'nuevo estilo de la serie L' en la búsqueda de un nonabelian campo de la clase de teoría. No mucho más tarde, Artin hecho ciertas conjeturas que llevó a Conjeturas de Weil en 1949, que nos da la Hasse-Weil zeta función. Alrededor de la década de 1960, Artin y Grothendieck desarrollado étale cohomology para resolver estas conjeturas, completado por Deligne en 1974. Esta L-función toma su forma final en la que se asocia a las motivaciones (algebraica de ciclo modulo algunos de equivalencia), definido esencialmente como Artin del.

Mientras tanto, en 1936 Hecke escribió L-funciones de las formas modulares, y alrededor de 1957, el Shimura-Taniyama conjetura fue formulado. Finalmente, en 1967 Langlands escribió su carta a Weil en la que detalla sus conjeturas, a lo largo de la manera en que se define la L-función para automorphic los formularios. Su inspiración para ellos fue en el cómputo de los términos constantes de Eisenstein de la serie, que vuelve a Selberg, mientras que su motivación fue también nonabelian campo de la clase de teoría.

¿Cuál es la moraleja de la historia? L-funciones han sido de interés en el siguiente orden: valores especiales, el primer número de la teoría, (nonabelian) clase de teoría de campo. Hoy en día, las preguntas son esencialmente los mismos, pero tenemos una mejor idea de qué tan profundo es el agujero del conejo va. Una muestra: L-funciones parecen ser mejor entendido en las familias, si la simetría de las familias a la Sarnak et al o p-ádico de las familias a la Hida y Coleman.

Ahora me voy a tomar una puñalada en su pregunta: automorphic L-funciones parecen ser invariantes adjunto estable de los paquetes de automorphic representaciones, y su L-parámetros de dar un enlace a la teoría de Galois. A pesar de que comienzan su vida como objetos de análisis, si se cumplen ciertas condiciones, a continuación, sus valores especiales pueden ser detectados de manera algebraica, donde los motivos y el p-ádico variación convertido en poderosas herramientas. Una más amplia, y tal vez menos satisfactorio de outlook es que tal vez lo que estos L-funciones de codificación en la final es la simetría. Es una respuesta suave, pero creo que hay algo para ti. Después de todo, la teoría de Galois, teoría de la Mentira, automorphy, análisis de armónicos, y tales son realmente los estudios en la simetría, ¿no?