¿Relaciones continuas?

Question

¿Qué puede significar para una relación $R\subset X\times Y$ para ser continua, donde $X$ y $Y$ ¿son espacios topológicos? ¿En topología, en teoría de categorías o en análisis? ¿Es posible, canónico, útil?

Tengo una vaga idea de la posibilidad de utilizar relaciones continuas en la ciencia, por ejemplo en la bioquímica o la mecánica celeste, como un enfoque menos determinista. Nunca he visto nada sobre este tema en Internet. Tengo mi propia opinión, pero me gustaría saber qué piensan los matemáticos profesionales al respecto.

¿Puede definirse adecuadamente? Y si es así, ¿podría ser de alguna utilidad?

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Condiciones de la definición:

1. La composición de las relaciones continuas debe ser continua.
2. Las funciones parciales, continuas en su dominio, deben ser continuas.
3. Dada una función parcial $f:X\times Y \rightarrow Z$ que es continua en su dominio, entonces $R=\{(x,y)\in X\times Y|f(x,y)=z_0\}$ debe ser una relación continua.

Answer 1

He aquí una ampliación de mi comentario en una respuesta que me parece muy convincente como definición "correcta" para los espacios compactos de Hausdorff, aunque estoy de acuerdo con otros que han dicho que para los espacios generales puede haber varias definiciones que compiten con diferentes méritos. Mi argumento para que ésta sea la definición correcta es que es natural de dos maneras diferentes: surge naturalmente al tomar la definición de "homomorfismo" y modificarla de manera obvia para aplicarla a las relaciones, y también coincide con la definición categórica de las relaciones como subobjetos del producto $X\times Y$ . Además, la coincidencia de estas dos definiciones se da de forma muy general (en particular, en cualquier categoría monádica sobre conjuntos).

Permítanme empezar considerando esta cuestión en diferentes categorías (concretas). Por ejemplo, ¿qué podría significar para una relación $R\subseteq G\times H$ para ser "homomórfico"? Si se piensa en una relación como una función multivaluada, la siguiente definición parece bastante razonable: para cualquier $g,g'\in G$ , si $h$ es un valor de $R(g)$ y $h'$ es un valor de $R(g')$ entonces $hh'$ debe ser un valor de $R(gg')$ . También debemos exigir que $1$ es un valor de $R(1)$ y que si $h$ es un valor de $R(g)$ entonces $h^{-1}$ es un valor de $R(g^{-1})$ (exigir esto es redundante para las funciones pero no para las relaciones). Entonces es fácil comprobar que esto es realmente equivalente a $R\subseteq G\times H$ siendo un subgrupo del grupo del producto. Esto se generaliza fácilmente a cualquier otro tipo de objeto algebraico: existe una definición análoga de "relación homomórfica", y es equivalente a ser un subobjeto del producto.

¿Cuál es entonces el análogo para los espacios topológicos? Bueno, si se quiere pensar en un espacio como un conjunto con algún tipo de "operaciones" sobre él, esas operaciones deberían tomar límites. Dado que los límites no existen siempre ni son únicos en general, hay varias formas de definir lo que significa que una relación preserve los límites. La siguiente es la que he encontrado más natural:

(1) $\,$ una relación $R\subseteq X\times Y$ es continua si siempre que $x$ es un punto de acumulación de una red $(x_a)$ en $X$ y $y_\alpha$ es un valor de $R(x_\alpha)$ entonces hay algún punto de acumulación de $(y_\alpha)$ que es un valor de $R(x)$ .

De forma equivalente, podríamos restringirnos a redes universales y sustituir "punto de acumulación" por "límite" en todas partes (sin embargo, a diferencia de lo que ocurre con las funciones, no es equivalente considerar redes arbitrarias y sustituir "punto de acumulación" por "límite", porque podría haber valores de $R(x)$ que son límites de cada subred universal pero ningún valor que sea simultáneamente límite de todas ellas).

Esta definición tiene ventajas e inconvenientes. Una función es continua como relación si es continua en el sentido habitual y una composición de relaciones continuas es continua. Una función parcial que es continua en su dominio es continua como relación si su dominio es cerrado. Sin embargo, esta definición no es simétrica en $X$ y $Y$ (como observó Joonas Ilmavirta, esto es una consecuencia necesaria para coincidir con la definición habitual sobre las funciones). Tampoco coincide con los subobjetos de $X\times Y$ en la categoría de espacios topológicos (que incluye no sólo todos los subespacios de $X\times Y$ sino también todos los subconjuntos dotados de cualquier topología más fina).

Sin embargo, si nos limitamos a los espacios compactos de Hausdorff, los inconvenientes desaparecen. Los límites de las redes universales o los ultrafiltros son operaciones bien definidas de un solo valor en el espacio compacto de Hausdorff, por lo que existe una opción clara para lo que significa que una relación sea "homomórfica con respecto a los límites". Una relación entre espacios compactos de Hausdorff es continua si es cerrada como subconjunto de $X\times Y$ y, por tanto, la continuidad es simétrica en $X$ y $Y$ . Además, estas relaciones continuas son también exactamente aquellos subconjuntos de $X\times Y$ que son a su vez espacios compactos de Hausdorff, como en el caso de las relaciones homomórficas entre estructuras algebraicas.

Como nota final, hay una generalización simultánea del caso algebraico y de los espacios compactos de Hausdorff, que son las álgebras sobre una mónada (los espacios compactos de Hausdorff son lo mismo que las álgebras sobre la mónada que lleva un conjunto al conjunto de ultrafiltros sobre él, con el mapa de estructura de un álgebra diciendo cómo tomar límites de ultrafiltros). Sea $T:\mathrm{Set}\to\mathrm{Set}$ sea una mónada y que $A$ y $B$ sean conjuntos. Dada una relación $R\subseteq A\times B$ podemos considerar las dos proyecciones $A\leftarrow R\to B$ y aplicar $T$ para obtener un diagrama $TA\leftarrow TR\to TB$ . Sea $\tilde{T}R$ sea la imagen de $TR$ en el producto $TA\times TB$ . De esta manera, $T$ se extiende naturalmente a un functor $\tilde{T}:\mathrm{Rel}\to\mathrm{Rel}$ .

Ahora podemos definir una "relación homomórfica" entre $T$ -algebras. Sea $A$ y $B$ sea $T$ -con mapas estructurales $\mu_A:TA\to A$ y $\mu_B:TB\to B$ . Decimos que una relación $R\subseteq A\times B$ es homomórfico si para cualquier $x\in TA$ , si $y$ es un valor de $\tilde{T}R(x)$ entonces $\mu_B(y)$ es un valor de $R(\mu_A(x))$ . Pero esto es sólo decir que $\mu_A\times \mu_B:TA\times TB\to A\times B$ restringe a un mapa $\tilde{T}R\to R$ y esta restricción hará que $R$ sí mismo un $T$ -a través de la composición $TR\to \tilde{T}R\to R$ y una subálgebra de $A\times B$ . Por el contrario, si $R$ es una subálgebra de $A\times B$ entonces el mapa estructural $TR\to R$ debe tener en cuenta $\tilde{T}R$ como restricción de $\mu_A\times \mu_B$ . Así, las relaciones homomórficas entre álgebras sobre una mónada siempre coinciden con subálgebras del producto.

Answer 2

Tengo un par de observaciones sobre la continuidad y algunas construcciones naturales de relaciones:

• A diferencia de las funciones, las relaciones no tienen una dirección preferente. Así, si $R\subset X\times Y$ es una relación, su relación inversa $R^{-1}\subset Y\times X$ es una relación igualmente válida. Ahora bien, si queremos que el concepto de relación continua respete esta simetría ( $R$ es continua si $R^{-1}$ es), tenemos una restricción importante. El intento obvio de definir una relación continua de forma que la preimagen de cualquier conjunto abierto tenga que ser (relativamente) abierta conduce a un concepto no simétrico; es más fácil generalizar las funciones continuas abiertas de forma simétrica. De hecho, una generalización de las funciones continuas no puede ser simétrica (sin supuestos estructurales adicionales sobre los espacios), ya que hay biyecciones continuas sin inversa continua.

• Dejemos que $R\subset X\times Y$ sea una relación. La preimagen $R^{-1}Y\subset X$ no tiene por qué ser todo $X$ (a diferencia de las funciones). Si definimos $R$ para ser continua cuando la preimagen de todo conjunto abierto es abierta, una función parcial obtenida al eliminar parte de una función continua no tiene por qué ser continua. Esto parece extraño (pero puede ser inevitable). También se podría exigir que la preimagen de cualquier conjunto relativamente abierto en $RX$ (o simplemente abrir en $Y$ si parece mejor) es relativamente abierto en $R^{-1}Y$ .

• Si $R\subset X\times Y$ y $S\subset Y\times Z$ son relaciones, su composición $S\circ R=\{(x,z);\exists y\in Y:xRySz\}\subset X\times Z$ es una relación. Si $R$ y $S$ son continuos, parece natural exigir que $S\circ R$ sea también continua. Esto plantea restricciones a las definiciones presentadas en la observación anterior; podría ocurrir, por ejemplo, que $S^{-1}Z\cap RX\subset Y$ es vacío o de alguna manera malo (ni abierto ni cerrado). Si definimos una relación continua de modo que la preimagen de un conjunto abierto debe ser abierta, la composición preserva la continuidad, pero el paso a funciones parciales no. La composición de dos funciones (usuales/parciales/multivaluadas) es de nuevo una función (usual/parcial/multivaluada), así que creo que respetar la composición es una buena idea.

Parece que no podemos mantener todas las buenas propiedades de las funciones continuas y las relaciones ordinarias en una teoría de las relaciones continuas. Por lo tanto, diferentes aplicaciones probablemente requerirán diferentes definiciones. (Esto es vacuamente cierto si hay a lo sumo una aplicación).

Answer 3

Dado que la pregunta es abierta y básicamente parece ser una petición de ideas geniales, ¿está bien si respondo a una pregunta ligeramente diferente? A saber: ¿cuál es la noción "correcta" de una relación medible?

La respuesta obvia --- tomar $X$ y $Y$ para ser espacios de medida y $R$ sea un subconjunto medible de $X \times Y$ --- se comporta mal. Si $X$ es no atómica, entonces la condición de reflexividad para las relaciones en $X$ se vuelve vacuo, y dar sentido a la transitividad también es problemático.

¡Pero hay una buena respuesta! Trabajar con subconjuntos de medida positiva módulo de conjuntos nulos y suponer $X$ y $Y$ son $\sigma$ -finito, por lo que podemos tomar uniones de familias arbitrarias de subconjuntos de medidas positivas. Entonces caracterizamos las relaciones medibles diciendo qué pares de subconjuntos de medida positiva pertenecen a la relación. La condición es: a relación medible es una familia $R$ de pares ordenados de subconjuntos de medida positiva de $X$ y $Y$ tal que $$\big(\bigvee A_\alpha, \bigvee B_\alpha\big) \in R\qquad \Leftrightarrow\qquad \mbox{some }(A_\alpha, B_\alpha) \in R,$$ para cualquier familia $\{A_\alpha\}$ y $\{B_\alpha\}$ de subconjuntos de medida positiva de $X$ y $Y$ respectivamente. La intuición es que un par $(A,B)$ pertenece a la relación si y sólo si algún punto de $A$ está relacionado con algún punto de $B$ .

Existe una teoría bien desarrollada de las relaciones medibles en este sentido. Se pueden componer, por ejemplo. El relación diagonal $\Delta$ se define estableciendo $(A,B) \in \Delta$ si $A \cap B$ es no nulo, y una relación es reflexivo si contiene $\Delta$ etc. Los detalles figuran en la sección 1 de este papel mío .

Curiosamente, hasta donde yo sé, no existe una buena definición del complemento de una relación medible en este sentido.

Answer 4

La categoría de espacios topológicos y funciones continuas no tiene la noción canónica de relación. Permítanme que me explaye.

Sólo existe una noción razonable de relación 1-categórica: una relación de $A$ a $B$ es un "subobjeto" del producto $A \times B$ . Por lo tanto, si $\mathbb{C}$ es una categoría, entonces para definir un concepto de relación en $\mathbb{C}$ hay que decidir qué se entiende por subobjeto de un objeto en $\mathbb{C}$ .

La forma más general de pensar en un subobjeto $\phi$ de un objeto $A$ es pensar en $\phi$ como de una fórmula lógica sobre $A$ (es decir, el subobjeto "virtual" de $A$ correspondiente a la fórmula $\phi$ está dada por elementos generalizados que satisfacen la fórmula $\{a \in A \colon \phi(a)\}$ En presencia de la comprensión, estos subobjetos "virtuales" pueden materializarse en la categoría, pero la cuestión es que no necesitan para materializarse --- una relación no tiene que ser representable en la categoría; puede pertenecer a otro mundo). Por lo tanto, para definir los subobjetos en $\mathbb{C}$ , hay que definir la lógica sobre $\mathbb{C}$ . El concepto de lógica sobre una categoría está encapsulado por el concepto de fibrado posetal.

Supongamos que $p \colon \mathbb{U} \rightarrow \mathbb{C}$ es un fibrado de este tipo sobre $\mathbb{C}$ . Una relación $\phi \colon A \nrightarrow B$ en $\mathbb{C}$ corresponde a un objeto $\phi$ en la fibra de $p$ en $A \times B$ . El único problema que queda por resolver, es encontrar una manera de componer dos relaciones de tal manera que la composición sea asociativa y tenga elementos neutros (es decir, identidades). No es difícil ver que para definir la composición de forma natural (es decir ${a (\psi \circ \phi) c} \Leftrightarrow {\exists_{b \in B} {a \phi b} \wedge {b \psi c}}$ ), nuestra lógica $p$ tiene que tener conectivos cartesianos estables y cuantificadores existenciales estables. Los teóricos de la categoría llaman a tales $p$ un fibrado lógico regular sobre $\mathbb{C}$ . Si se tiene un fibrado lógico regular, entonces se puede tomar su resolución y obtenemos una categoría de relaciones de 2 posiciones $\mathit{Rel}(p)$ junto con una incrustación canónica:

$$\mathbb{C} \rightarrow \mathit{Rel}(p)$$

que da una interpretación de los morhpismos de $\mathbb{C}$ como relaciones en $\mathit{Rel}(p)$ .

Ahora, toda categoría (suficientemente completa) $\mathbb{C}$ tiene asociada una lógica interna canónica --- la lógica de los subobjetos canónicos (es decir, subobjetos asociados a monomorfismos $A_0 \rightarrow A$ ). Por ejemplo, la lógica interna canónica de $\mathbf{Set}$ da la noción habitual de relación entre conjuntos e induce la categoría habitual de relaciones. Es un buen ejercicio mostrar que la lógica interna canónica de una categoría (finitamente completa) es regular si y sólo si la categoría es regular en el sentido habitual (es decir, tiene imágenes estables). Como la categoría de espacios topológicos y mapas continuos no es regular, no existe una noción canónica de relación entre espacios topológicos. Hay tres formas de superar este molesto aspecto de los espacios topológicos:

• pasar a una categoría más general que es regular,
• pasar a una subcategoría normal,
• tomar una lógica no canónica que sea regular sobre la categoría de espacios topológicos.

Cuál es la mejor manera depende de tus aplicaciones particulares (supongo que esta es la razón por la que tu pregunta fue cerrada --- no está completamente claro lo que quieres lograr).

Por cierto, hay una noción un poco más general de relación (y uno puede encontrarla en la teoría de categorías --- por ejemplo en la definición de gavillas sobre cuantiles): podemos sustituir la lógica regular por la lógica monoidal regular; es decir, podemos debilitar las conectivas cartesianas a conectivas monoidales y definir la composición de $\phi \colon A \nrightarrow B$ con $\psi \colon B \nrightarrow C$ como ${a (\psi \circ \phi) c} \Leftrightarrow {\exists_{b \in B} {a \phi b} \otimes {b \psi c}}$ . A decir verdad, se puede imaginar una noción aún más general de una relación, pero no creo que nos aporte nada útil en nuestro contexto, por lo que me abstendré de escribir sobre ella.

Answer 5

La discusión aquí es principalmente desde el punto de vista de las fundaciones. Sin embargo, el PO mencionó aplicaciones en ciencias como la mecánica celeste. De hecho, para tales fines uno podría no necesitar espacios topológicos generales. Por ejemplo, subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ puede ser suficiente. Además, a veces uno puede salirse con la suya con sólo homeomorfismos locales como mapas. He aquí una definición bastante elemental de lo que podría ser una noción razonable de relación continua generalizando un homeomorfismo local:

Una relación localmente homeomórfica es una relación $R$ que "localmente parece un homeomorfismo". Es decir, para cualquier par de elementos $x \in X$ y $y \in Y$ , de tal manera que $(x, y) \in R,$ hay barrios de salida $U_x$ y $V_y$ y un homeomorfismo entre ellos, cuyo gráfico coincide con la restricción de la relación $R$ .