¿Cuál es la fuerza matemática inversa del teorema fundamental del álgebra?

Question

Inversa de matemáticas (RM) es la zona que intenta precisar exactamente cuáles son los axiomas necesarios para demostrar teoremas dada una base débil de la teoría. Harvey Friedman ha señalado varias veces (en el FOM lista de correo) que $Con(PA)$ es equivalente a una variante de Bolzano-Weierstrass sobre los racionales entre 0 y 1 inclusive (algo así como: cada secuencia tiene una larga $\{q_i\}$ que es de Cauchy, en el sentido de que $\forall i,j \geq n, |q_i - q_j| < 1/n$). Aparentemente muy similar resultado se da en el libro de Simpson y "es claro para los expertos en" cómo llegar a Friedman de la reclamación. (En un aparte, me parece que esta como un sorprendente resultado que debe ser escrito para el promedio matemático, y no enterrado en un vago forma equivalente en un libro que es difícil conseguir las manos.)

La razón por la que menciono Bolzano-Weierstrass es que Todd Trimble, en una bonita respuesta en Formas de demostrar el teorema fundamental del álgebra, utiliza B-W para demostrar (como la herramienta clave, entre otras, consideraciones elementales) el teorema fundamental del álgebra. Todd entonces tenía una mirada a ver, a mi requerimiento, si el RM fuerza de los TLC era conocido. Él vino para arriba en blanco, por lo que pido aquí:

Cómo cerrar en sentido inverso matemático de la fuerza son la de Bolzano-Weierstrass declaración de Friedman de la demanda y el teorema fundamental del álgebra?

Si son los mismos, entonces nos encontramos en la sorprendente situación de que la consistencia de PA es equivalente a un teorema que todos estamos de uso sin reparo alguno. Sin embargo, tengo una vaga sensación de que el TLC es estrictamente más débiles que los de BW (como se usa aquí), pero no puede hacer esta precisión.

Answer 1

Tanaka y Yamazaki (en el volumen Reverse Mathematics 2001 , ver revisión ) muestran que una parte sustancial de la teoría de campo se puede hacer en la teoría de base débil RCA$_0$, demostrando en RCA$_0$ el teorema fundamental de álgebra y eliminación de cuantificadores para la teoría de campos cerrados reales.

Entonces el TLC es más débil que BW.

Answer 2

Bjørn Kjos-Hanssen ha respondido a la cuestión enunciada, pero creo que sería de gran ayuda para hacer un par de aclarar los comentarios.

Vamos a BWQ denotar la afirmación de que "Cada delimitada secuencia infinita de $\mathbb Q$ tiene un infinito de Cauchy larga." Lo que Friedman ha demostrado es que no se que BWQ implica Con(PA). (Me he confundido en este punto a mí mismo en el pasado.) En su lugar, lo que ha demostrado es que Con(RCA_0 + BWQ) implica Con(PA). Véase Friedman puestos aquí y aquí por ejemplo.

Si usted está buscando para otros mundano declaraciones con proyecciones de futuro, cuya consistencia implica la consistencia de PA, luego de Simpson libro contiene un número de candidatos, por ejemplo,

1. Cada contables campo es isomorfo a un subcuerpo de un contable algebraicamente cerrado de campo.
2. Cada contables espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ tiene una base.
3. Cada contables conmutativa anillo tiene un ideal maximal.

Nota: Uno tiene que ser un poco cuidadoso acerca de lo que "contables de los objetos", en el contexto de los subsistemas de segundo orden de la aritmética (como contraposición a la recta de la teoría de conjuntos); esta impresión fine se discute en el libro de Simpson.

Answer 3

Tal vez es instructivo ver cómo Todd prueba de la FTA pasos fuera de $\mathsf{RCA}_0$ y cómo podría ser modificado para adaptarse a $\mathsf{RCA}_0$.

Primero, vamos a revisar algunos aspectos de la compacidad en los subsistemas de segundo orden de la aritmética.

• Totalmente delimitada completa de métricas de espacios puede ser formalizado en el $\mathsf{RCA}_0$ y es sencillo para mostrar en $\mathsf{RCA}_0$ que $[0,1]$, cerrado bolas en $\mathbb{R}^n$ y cerró los discos en $\mathbb{C}$ están totalmente delimitadas completa de métricas de espacios. [Simpson Definición III.2.3 y siguientes ejemplos. Algo confusamente, Simpson utiliza "espacio métrico compacto" totalmente delimitada completa de métricas de espacios.]

• El sistema de $\mathsf{ACA}_0$ es equivalente a más de $\mathsf{RCA}_0$ a la declaración de que todas totalmente acotado espacio métrico completo es secuencialmente compacto [Simpson Teorema III.2.7]. El Bolzano-Weierstrass Teorema es un caso especial de esto y el caso especial de $[0,1]$ es ya equivalente a $\mathsf{ACA}_0$ sobre $\mathsf{RCA}_0$ [Simpson Teorema III.2.2].

• El sistema de $\mathsf{WKL}_0$ es equivalente a más de $\mathsf{RCA}_0$ a la declaración de que todas totalmente delimitada completa de espacio métrico compacto [Simpson Teorema IV.1.5]. El Heine-Borel Teorema es un caso especial de esto y el caso especial de $[0,1]$ es ya equivalente a $\mathsf{WKL}_0$ sobre $\mathsf{RCA}_0$ [Simpson Teorema IV.1.2].

$\mathsf{WKL}_0$ es estrictamente más fuerte que $\mathsf{RCA}_0$ e $\mathsf{ACA}_0$ es estrictamente más fuerte que $\mathsf{WKL}_0$. El primer orden fragmento de $\mathsf{ACA}_0$ es $\mathsf{PA}$ y cada modelo de $\mathsf{PA}$ puede ser ampliado a un modelo de $\mathsf{ACA}_0$; el $\mathsf{RCA}_0$ e $\mathsf{WKL}_0$ tienen el mismo primer orden fragmento, $\mathsf{PA}$ con la inducción restringido a $\Sigma_1$-fórmulas, y también la primera modelo de orden de que la teoría puede ser ampliado a un modelo de $\mathsf{WKL}_0$ (y, por tanto, de $\mathsf{RCA}_0$).

Ahora, de vuelta a Todd de la prueba. Como en Todd prueba, vamos a $f(z)$ ser un polinomio no constante sobre $\mathbb{C}$.

Todd primer paso se utiliza la de Bolzano-Weierstrass Teorema (BWT) por cerrado discos en $\mathbb{C}$. A primera vista, esto requiere de $\mathsf{ACA}_0$, pero el punto es mostrar que $|f(z)|$ alcanza un valor mínimo. El más débil subsistema $\mathsf{WKL}_0$ ya demuestra que cada real continua con valores de la función en un totalmente acotado espacio métrico completo alcanza un valor mínimo [Simpson Teorema IV.2.2]. El resto de las partes de Todd prueba directa de los cálculos, así que ahora tenemos una prueba en $\mathsf{WKL}_0$. Desde la Extrema Teorema del Valor es equivalente a $\mathsf{WKL}_0$ sobre $\mathsf{RCA}_0$ [Simpson Teorema IV.2.3] parece que no se puede hacer mucho mejor. Este sería el caso si $f(z)$ fueron arbitrarias función continua, pero polinomios no son arbitrarias en todo!

El primer hecho clave acerca de polinomios es que tienen computable módulo de continuidad uniforme. De hecho, por cada disco está cerrado,$D$, podemos utilizar los coeficientes de $f(z)$ a calcular una constante $C_D$ tal que $|f(x)-f(y)| \leq C_D|x-y|$ para todos los $x, y \in D$. Esto puede llevarse a cabo en $\mathsf{RCA}_0$ y esto es suficiente para mostrar que el $\inf\{|f(z)| : z \in D\}$ existe. Sin embargo, el módulo de continuidad uniforme por sí sola no es suficiente para demostrar que esta infimum es alcanzado.

El segundo hecho clave acerca de polinomios es que sólo puede haber un número finito de raíces y podemos calcular exactamente cuántos debe de ser: el grado de $f(z)$ menos que el grado del mcd de $f(z)$ e $f'(z)$. Vamos a llamar a este número $n$. Esto nos permite centrarnos en una raíz en el determinismo de la moda en lugar de utilizar Bolzano-Weierstrass. Dado discontinuo cerrado discos de $D_1,\ldots,D_n$ tal que $\inf\{|f(z)|: z \in D_i\} = 0$ para $i = 1,\dots,n$, que efectivamente se puede calcular rápidamente convergente secuencia de Cauchy para la única raíces $r_1 \in D_1,\ldots,r_n \in D_n$. Para encontrar un elemento de $D_i$ dentro $\varepsilon \gt 0$ de las supuestas $r_i$, encontramos un pequeño $\delta \gt 0$ y una tapa de $D_i$ con abrir bolas $B(z_1,\delta),\ldots,B(z_k,\delta)$ tal que los elementos de la $\{z_j : |f(z_j)| \lt C_{D_i}\delta\}$ son todos dentro de $\varepsilon$ de cada uno de los otros y elegir cualquier elemento de ese conjunto.

No veo cómo adaptar Todd prueba para demostrar que $\inf\{|f(z)| : z \in \mathbb{C}\}$ debe $0$ sin mostrar en primer lugar que el infimum es alcanzado. Sin embargo, los dos hechos claves por encima de explicar cómo evitar Bolzano-Weierstrass cuando se trabaja con polinomios en lugar de funciones arbitrarias.