¿Alguien quiere una bonita forma de Maass?

Question

Hace un par de meses, tenía curiosidad acerca de algunas propiedades de Maass la cúspide de las formas, de los nonabelian aritmética de origen. Como resultado de ello, me fui a través de una forma un tanto predecible proceso de encontrar una totalmente real $A_4$ extensión de $Q$, elevación de la resultante proyectiva Galois representación honesto Galois representación, y escribir un breve programa para calcular como muchos de los coeficientes de la Artin L-función (por lo tanto los coeficientes de la Maass forma) como sea necesario.

Bien, como sucede a menudo, no encontré nada especialmente sorprendente en el final.

Pero ahora me "tiene un Maass forma". Su bastante Maass forma-la más simple de autovalor de 1/4, de "nonabelian" origen (no derivadas de un diedro de Galois de la representación). Su director es 163 -- una muy atractiva número primo (a pesar de su apariencia de aquí parece casual). Algunos de la clase número 1 coincidencias hacer el cálculo de sus coeficientes muy rápida y sencilla.

Así que, ¿alguien quiere el Maass (es decir, que el código de salida de los coeficientes rápidamente)? Es divertido jugar con el, y no ocupa demasiado espacio. I garantizar su modularidad. Si no, alguna sugerencia de donde colocarlo (un pequeño diario que publica dicha lindo ejemplos)?

Answer 1

[estos son los comentarios, no una respuesta, pero eran demasiadas para la caja de comentarios]

Hey---escribí que el código también! Yo lo hice para enseñar a mí mismo "práctica Maass formas". Escribí en pari, no sabio. Yo no hice el ejemplo que usted hizo. He aquí lo que hice, por lo que vale la pena. Primero probé con un diedro ejemplo. He utilizado el de Hilbert campo de la clase de $\mathbf{Q}(\sqrt{145})$; el grupo de clase es cíclico de orden 4, dando un $D_8$ extensión de $\mathbf{Q}$ con un fiel de 2 dimensiones de la representación. Es un ejercicio fácil en la factorización de polinomios de mod $p$ a calcular las huellas de Frobenius, y tengo el Hecke autovalores con muy poca dificultad.

Pero he aquí la gran pregunta: ¿cómo sabes tú que los tienes derecho? He aquí cómo lo hice yo. He calculado que el primero de 200.000 Hecke valores propios, creado el poder formal de la serie de la definición de una función en la mitad superior del plano como es usual, y luego he evaluado a muchos lugares decimales en un montón de puntos aleatorios $z$ e $\gamma.z$ con $\gamma$ en el nivel. En todos los casos que he probado, las respuestas fueron las mismas para que dentro del error experimental. Llegué a la conclusión de que probablemente yo tenía todo funcionando.

También hice una $S_3$ de extensión (el grupo de clase de $\mathbf{Q}(\sqrt{79})$) y no algebraicas ejemplo viene de un Grossencharacter---este tuvo conductor de 8 pero autovalor no $1/4$.

También traté de hacer una $A_5$ ejemplo! Como usted probablemente sabe de la $A_4$ ejemplo, un problema que necesita resolver aquí es que la imagen de Galois en $GL_2(\mathbf{C}$) no $A_4$, que es la central de extensión, por lo que usted necesita saber cómo se prepara la división en la última ampliación, que es más costoso computacionalmente. Bjorn Poonen me mostró un maravilloso truco aunque, por lo que yo podría hacerlo. Yo calculadas $a_n$ durante cientos y miles de $n$, construyó la función en la mitad superior del plano, y comprueba a ver si es invariante por el grupo de nivel. No :-( llegué a la conclusión de que el programa de Langlands estaba mal o mi código era incorrecto, y tuve una buena idea que. [EDITAR de Mayo de 2012: por lo que vale me hizo realidad el código de trabajo en el final (en abril de 2011, de hecho) -- mi código era incorrecto (estúpido error: todos los "duros" código estaba bien, pero había calculado mal $a_{1951}$!), y Langlands programa todavía se ve bien. AFAIK uno todavía no puede demostrar que el candidato Maass formulario cuyo poder de expansión de la serie I se puede calcular un camino muy largo es en realidad un Maass forma.]

Aquí está el pari secuencia de comandos para el 145 ejemplo, por el camino:

N=200000;
f=x^4 - x^3 - 3*x^2 + x + 1;
ap(p)=if(p==5,-1,if(p==29,-1,if(issquare(Mod(p,5))&&issquare(Mod(p,29)),2*(matsize(factormod(f,p))[1]-3),0)));
chi(n)=kronecker(n,145);
v=vector(N,i,0);
v[1]=1;
for(i=2,N,fac=factor(i);k=matsize(fac)[1];\
 if(k>1,v[i]=prod(j=1,k,v[fac[j,1]^fac[j,2]]),\
 if(fac[1,2]==1,v[i]=ap(i),\
 p=fac[1,1];e=fac[1,2];v[i]=v[p]*v[p^(e-1)]-chi(p)*v[p^(e-2)]))\
);
F(z)=local(x,y,M);x=real(z);y=imag(z);M=ceil(11/y);if(M>N,error("y too small."));sqrt(y)*sum(n=1,M,if(v[n]==0,0,v[n]*besselk(1e-30*I,2*Pi*n*y)*cos(2*Pi*n*x)))

Eso es todo! Es bastante auto-explicativo. ap(p) devuelve el coeficiente de $a_p$ de la forma. el chi es el carácter de la forma. Si ejecuta esta el equipo hará una pausa durante unos segundos mientras se realiza la primera de 200.000 coeficientes de la Maass forma. Después de que se le dará una función de $F$ en la mitad superior del plano, el cual es definido por una expansión de Fourier, y el milagro será que va a ser $\Gamma_1(145)$-invariante. Por ejemplo, después de ejecutar el código anterior, puedes probar esto:

gp > z=-0.007+0.08*I
%5 = -0.007000000000000000000000000000 + 0.08000000000000000000000000000*I
gp > F(z)
%6 = 0.2101332751524672135753981488 + 0.E-30*I
gp > F(z/(145*z+1))
%7 = 0.2101332751524672135753981489 + 0.E-30*I
gp > %6-%7
%8 = -5.67979851 E-29 + 0.E-30*I

Lo que dice es que para $z$ un elemento aleatorio de la mitad superior del plano tales que $z$ e $\gamma.z$ ambos tienen parte imaginaria que no es demasiado pequeño (si el im parte es demasiado pequeño, usted necesita más de Fourier coeffts), donde aquí $\gamma=(1,0;145,1)$, $F$ evalúa, para que dentro del error experimental, para el mismo valor en $z$ e $\gamma.z$.

Tenga en cuenta que Marty ejemplo es de $A_4$ tipo, lo más interesante de este ejemplo, pero en un teorema de Langlands nos dice que Marty el ejemplo de que realmente será una cúspide de la forma.

Answer 2

Aquí es de Dokchitser en Magma:

 > L:=LSeries(HilbertClassField(QuadraticField(145)) : Method:="Artin");
> L`prod;
[
  <L-series of Riemann zeta function, 1>,
  <L-series of Artin representation of Number Field with defining polynomial x^8 - 
    636*x^6 + 135214*x^4 - 11109740*x^2 + 290532025 over the Rational Field with
    character ( 1, 1, 1, -1, -1 ) and conductor 5, 1>,
  <L-series of Artin representation of Number Field with defining polynomial x^8 - 
    636*x^6 + 135214*x^4 - 11109740*x^2 + 290532025 over the Rational Field with
    character ( 1, 1, -1, -1, 1 ) and conductor 145, 1>,
  <L-series of Artin representation of Number Field with defining polynomial x^8 - 
    636*x^6 + 135214*x^4 - 11109740*x^2 + 290532025 over the Rational Field with
    character ( 1, 1, -1, 1, -1 ) and conductor 29, 1>,
  <L-series of Artin representation of Number Field with defining polynomial x^8 - 
    636*x^6 + 135214*x^4 - 11109740*x^2 + 290532025 over the Rational Field with
    character ( 2, -2, 0, 0, 0 ) and conductor 145, 2>
]
> L5:=L`prod[5][1];
> CheckFunctionalEquation(L5); // LCfRequired(L5) demands 161 terms
1.57772181044202361082345713057E-30
> [<p,-Integers()!Coefficient(EulerFactor(L5,p),1)> : p in PrimesUpTo(100)];
[ <2, 0>, <3, 0>, <5, -1>, <7, 0>, <11, 0>, <13, 0>, <17, 0>, <19, 0>, <23, 0>, 
  <29, -1>, <31, 0>, <37, 0>, <41, 0>, <43, 0>, <47, 0>, <53, 0>, <59, -2>, <61, 0>,
  <67, 0>, <71, -2>, <73, 0>, <79, 0>, <83, 0>, <89, 0>, <97, 0> ]
 

Estos son los mismos que su ap (p), esencialmente.