Hace un tiempo, un profesor mío dijo algo en la línea de
No importa cuántos invariantes algebraicos adjuntemos a los espacios topológicos, siempre habrá espacios no homeomórficos que coincidan con todos sus invariantes.
Donde los invariantes algebraicos son functores de$Top$ a$Grp$, supongo. No he podido encontrar este resultado en línea en ninguna parte (en parte porque no sé qué buscar en google), así que estoy buscando una fuente donde se discuta este resultado.
tal vez él está dando a entender algunos incluso más fuerte resultado
Él se está refiriendo a la siguiente resultado de Peter Freyd (Freyd principio de incertidumbre):
El homotopy categoría de espacios de $HoTop$ no admitir un fiel functor a la categoría de conjuntos de $Set$. Específicamente, para cualquier functor $T: Top_* \to Set$ de la base-señaló espacios para juegos, que es homotopy invariante, existe una triple $f: X \to Y$ tal que $f$ no es null-homotópica, sino $T(f) = T(\ast)$. Aquí $\ast$ es el null mapa para el punto de referencia $Y$.
En particular, cualquier algebraicas invariantes es un conjunto de valores de homotopy invariante. Esto incluye homotopy grupos, cohomology, cohomology y homotopy operaciones y cualquier cosa que usted puede pensar. Freyd del teorema implica que no podemos describir la homotopy categoría como una categoría de álgebras para algunos teoría algebraica $\mathcal{T}$, ya que cualquier algebraicas categoría es de hormigón.
Dato divertido: Freyd del teorema esencialmente se basa sólo en el conjunto general de la teoría de los argumentos y el cardenal de contar.
No contra-ejemplo: Whitehead del teorema establece que si un mapa de $f: X \to Y$ entre señaló conectado CW-complejos induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos $\pi_i, \ i=1, 2,\dots$,, a continuación, $f$ es un homotopy equivalencia entre el $X$ e $Y$. Tenga en cuenta que usted todavía no puede discriminar los espacios teniendo en cuenta sólo la colección de homotopy grupos: no puede ser $X$ e $Y$ tal que $\pi_i(X) = \pi_i(Y)$ para todos los $i$, pero este isomorfismo no es inducida por cualquier mapa de $F: X\to Y$ y los espacios no son homotopy equivalente. El ejemplo más sencillo es $\Bbb R \Bbb P^2 \times S^3$ e $S^2 \times \Bbb R \Bbb P ^3$. Ambos tienen un doble cubriendo por $S^2 \times S^3$ y tienen por tanto el mismo homotopy grupos, pero su cohomology no es isomorfo.
En el segundo pensamiento, no veo por qué Freyd del teorema implicaría real no distinguible espacios sin ningún tipo de condiciones adicionales en el invariante. Tal vez alguien puede llenar este vacío, pero en mi humilde opinión la no discriminación de los mapas es bastante malo.
Desde este teorema estados indiscriminability incluso para los no-homotopy equivalente espacios, en particular, lo hace para no homeomórficos espacios. Esto podría ser más débil de lo que su profesor implícita ya que, en principio, podría considerar la posibilidad de invariantes de espacios que no son homotopy invariantes. Sin embargo, esto requiere algo más de detalles sobre lo que podríamos llamar "algebraicas invariantes" desde, por ejemplo, el entramado de abrir los subconjuntos se parece a un perfectamente bien algebraicas invariantes a mí, pero sin duda discrimina a los espacios.
Hay interesantes saltos en las respuestas de la pregunta con otras preguntas, por ejemplo, de homeomorphisms a homotopy equivalencias, de espacios para señalado espacios, .... Una de las razones para la homotopy estudio es que los invariantes hasta homeomorphy podrían ser innumerables, excepto para restringido clases de espacios, mientras que para las clases de "bonito" de los espacios que podemos esperar de un contable número de homotopy invariantes.
En mi propio trabajo me he visto obligado a considerar "estructura de espacios" para obtener mayor homotopy groupoids, y así colimit teoremas, en mayor homotopy; este archivo pdf en "Una filosofía de la modelización y computación homotopy tipos" es un relevante de 2015 presentación. Estas nociones de la estructura de los espacios, es decir, de los datos topológicos, se extienden a dimensiones superiores de la idea de utilizar muchos de los puntos de base para el fundamental groupoid, y dan lugar a algunos de los que previamente no estaban disponibles precisa nonabelian colimit cálculos de homotopy tipos, y así de homotopy grupos, de punta espacios. No se debe olvidar que homotopy grupos no son sino una pálida sombra de la punta homotopy tipos.
Parte de la filosofía es que para especificar un espacio que necesita algún tipo de datos, y que los datos se tiene algún tipo de estructura. Podría ser sabio para mantener esa estructura en cuenta a la hora de construir "invariantes". Por ejemplo, es la norma para considerar el celular de la cadena de complejos de una célula compleja, y esto se extiende atravesado complejos y filtrada espacios en el libro Nonabelian Topología Algebraica. Grothendieck en la Sección 5 de su "Esquisse d'un Programa de" argumenta que la noción de espacio topológico es demasiado lejos de la geometría, y quiere más de la estructura, tales como la estratificación.
Los espacios topológicos pueden ser infinitamente variados. Desde el punto de vista de la topología, incluso algo tan inexpresivo como$\mathbb{R}$ tiene una enorme cantidad de estructura.
¿Qué pasa con la topología de Zariski en geometría algebraica? Tienden a ser diferentes a la topología que heredas de su incrustación en el espacio ambiental.
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