Edit: Aquí está lo que yo creo que es un contra-ejemplo.
Deje $\phi$ ser la función de indicación de los números naturales, deje $\mathcal U$ ser un ultrafilter apoyado en la que incluso los naturales, y deje $\mathcal V$ ser un ultrafilter definido en el que incluso los números enteros negativos. Definir $\mu\in M(\mathbb Z)$ por
$$\int f(x) \ d\mu(x) = \lim_{x\in\mathcal V} f(x).$$
A continuación, $\mu\in I_\phi$ (como, de hecho, $\int \phi(x+y) \ d\mu(y)=0$ para todos los $x$). Si $\nu\in I_\phi$ entonces $\nu$ debe asignar la misma medida a $2\mathbb N$ e $2\mathbb N+1$, decir $\alpha\leq 1/2$. También es necesario argumentar que $\nu$ debe asignar cero a medida para cualquier conjunto finito (otra cosa que no ser $\phi$-invariante). Así que para cualquier $y\in\mathbb Z$,
$$\int \phi(x+y) \ d\nu(x) = \nu(2\mathbb N-y) = \begin{cases}
\nu(2\mathbb N) &: y\in 2\mathbb Z, \\ \nu(2\mathbb N+1) &: y\in 2\mathbb Z+1, \end{casos}
= \alpha.$$
Así
$$\int \int \phi(x+y) \ d\nu(x) \ d\mu(y) = \int \alpha \ d\mu(y) = \alpha,$$
como $\mu$ es una medida de probabilidad. Por el contrario, vamos a $\nu$ ser definido por
$$\int f(x) \ d\nu(x) = \lim_{y\in\mathcal U} f(y).$$
Entonces
$$\int \phi(x+y) \ d\nu(x) = \begin{cases} 1 &: y\in 2\mathbb Z, \\
0 &: y \in 2\mathbb Z+1, \end{casos}$$
y así
$$\int \int \phi(x+y) \ d\nu(x) \ d\mu(y) = \int \chi_{2\mathbb Z}(y) \ d\mu(y)
= 1.$$
Por lo $F$ no está maximizada en $I_\phi$.
De hecho, mediante la sustitución de $2\mathbb N$ por $k\mathbb N$, creo que se puede conseguir que la $F$ tiene una norma, sino $F(\nu)\leq 1/k$ cualquier $\nu\in I_\phi$.
Pero de alguna manera, a mi juicio, lo que está mal es que el $\mu\in I_\phi$ que usted elija es muy baja. Así que aquí es una versión revisada de la conjetura:
Deje $\mu\in I_\phi$ maximizar la integral de la $\int \phi(x) \ d\mu(x)$. A continuación, $F$ alcanza su máximo en $I_\phi$.
Viejo post: (Explica mi forma de pensar).
Creo que de estas preguntas usando el Arens de los productos, de lo abstracto álgebra de Banach teoría. Así que yo trabajo a través de los números complejos; pero esto no es un problema.
Considere la posibilidad de $A=\ell^1(\mathbb Z)$ con el producto de convolución, por lo $A$ es conmutativa. A continuación, $A^*=\ell^\infty(\mathbb Z) = C(\beta\mathbb Z)$ es $A$-módulo: $(a\cdot f)(b) = f(ba)$ para $a,b\in A,f\in A^*$. A continuación, $A^{**}=M(\beta\mathbb Z)$ el espacio finito de medidas de Borel en el Stone-Cech compactification $\beta\mathbb Z$. Su espacio de $M(\mathbb Z)$ es sólo la adopción de medidas positivas $\mu\in A^{**}$ con $\mu(1)=1$.
Tratamos de ampliar la gama de productos de $A$ a $A^{**}$. En primer lugar definimos una bilineal mapa de $A^{**}\times A^*\rightarrow A^*$ por
$$(\mu\cdot f)(a) = \mu(a\cdot f) \qquad (\mu\in A^{**}, f\in A^*, a\in A).$$
Pero entonces tenemos dos opciones para el producto en $A^{**}$:
$$(\mu \Caja \lambda)(f) = \mu(\lambda\cdot f), \quad
(\mu\diamante\lambda)(f) = \lambda(\mu\cdot f)
\qquad (\mu\lambda\en A^{**}, f\en A^*).$$
Un poco de reflexión muestra que la $\mu\diamond\lambda = \lambda\Box\mu$.
Así que si $\phi\in A^*$ si es positivo, a continuación, $\mu\in I_\phi$ si y sólo si $\mu\cdot\phi
= \mu(\phi) 1$. This follows, as writing $\delta_x\a=\ell^1(\mathbb Z)$ for the point mass at $x\in\mathbb Z$, tenemos
$$(\phi\cdot\delta_x)(\delta_y) = \phi(\delta_{x+y}) \implica
(\mu\cdot\phi)(\delta_x) = \mu(\phi\cdot\delta_x)
= \int \phi(x+y) \ d\mu(y).$$
Por lo tanto la condición de que $\mu\in I_\phi$ se convierte en ese $(\mu\cdot\phi)(\delta_x)$ es constante en $x$, que se considera equivalente a $\mu\cdot\phi = \mu(\phi) 1$.
Del mismo modo, el mapa de $F$ es sólo $F(\nu) = (\mu\Box\nu)(\phi)$.
Como usted alude, se sabe que $\lambda\Box\mu \not= \mu\Box\lambda$ arbitrarias $\lambda,\mu$. Sin embargo, podemos decir que $f\in A^*$ es "débilmente casi periódicos" (WAP) si $(\lambda\Box\mu)(f) = (\mu\Box\lambda)(f)$ para todos los $\mu,\lambda\in A^{**}$. Así que si $\phi$ es WAP y $\mu\in I_\phi$, entonces para cualquier $\nu\in M(\mathbb Z)$,
$$F(\nu) = (\mu\Caja\nu)(\phi) = (\nu\Caja\mu)(\phi) = \nu(\mu\cdot\phi)
= \nu(1) \mu(\phi) = \mu(\phi),$$
como $\nu$ es una medida de probabilidad. Lo que en realidad lo $F$ es constante en $M(\mathbb Z)$, por lo que sin duda alcanza su máximo en un punto de $I_\phi$.
Así que, para ser interesante, tenemos que hacer la pregunta para $\phi$ que no WAP. Una alternativa caracterización de $\phi$ siendo en WAP es que el conjunto de la traduce de $\phi$ en $\ell^\infty(\mathbb Z)$ formas relativamente débilmente compacto. Una buena caracterización de Grothendieck muestra que esto es equivalente a
$$\lim_n \lim_m \phi(x_n+y_m) = \lim_m \lim_n \phi(x_n+y_m)$$
cuando todos los límites existen, para las secuencias de $(x_n),(y_m)$ en $\mathbb Z$. Si $\phi$ es la función de indicador de $\mathbb N$, entonces no es en WAP.
Podemos muy bien suponer que los $\|\phi\|_\infty=1$.
Otro "fácil" caso es cuando se puede encontrar $\nu\in I_\phi$ con $\nu(\phi)=1$. A continuación,$F(\nu) = \mu(\nu\cdot\phi) = \mu(1) \nu(\phi) = 1$; mientras que para los $\lambda\in M(\mathbb Z)$, claramente $|F(\lambda)| = |\mu(\lambda\cdot\phi)| \leq 1$ as $\mu$ es una medida de probabilidad, y $\lambda\cdot\phi$ está delimitado por $1$ (de nuevo, como $\lambda$ es una medida de probabilidad y $\phi$ está delimitado por $1$). Observe que en este caso cubre su ejemplo de al $\phi$ es la función de indicador de $\mathbb N$.
Así, un caso de prueba es encontrar a $\phi$ no en WAP y con $\nu(\phi)<\|\phi\|_\infty$ para todos los $\nu\in I_\phi$ (aviso que $I_\phi$ siempre es no-vacío, como $\mathbb Z$ es susceptible). ¿Tiene usted un ejemplo de este tipo de $\phi$?
En realidad, si $\phi$ es el indicador de la función de los números naturales, entonces es un ejemplo. Y que conduce a mi (esperanza) contra-ejemplo.
